《高考风向标》年高考数学一轮复习 第十章 第3讲 数学归纳法精品课件 理

第3讲数学归纳法

1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_________________，第二步是___________________，两步缺一不可．2. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中 包括_______________________________________________ _____．归纳奠基(或递推基础)归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()CA．n＝1时成立C．n＝3时成立

B．n＝2时成立D．n＝4时成立解析：多边形至少有三边．A3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()CA．f(n)＋n＋1B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2

解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n－1条对角线．A．a＝1，b＝3C．a＝1，b＝2B．a＝－1，b＝1D．a＝2，b＝3答案：D解析：令n＝1,2，得到关于a、b的方程组，解得即可．14n2－15考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A．n＝k＋1时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立

B．n＝k＋2时命题成立

D．n＝2(k＋2)时命题成立解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k的下一个偶数是k＋2.解析：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2.故选B.用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加(乘)上的式子．n＋n24【互动探究】B(2)用数学归纳法证明不等式

1n＋1＋

1n＋2＋…＋>113的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是_______________.

1(2k＋1)(2k＋2)＋(k＋1)(k＋1)－，即2k＋2k＋1(2k＋1)(2k＋2)解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝

11k＋1k＋2＋…＋

1k＋k.n＝k＋1时，左边＝

1k＋2＋

1k＋3＋…＋1.故左边增加的式子是

12k＋1＋111.考点2用数学归纳法证明恒等式命题例2：是否存在常数a、b、c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(nn都成立？证明你的＋1)2＝n(n＋1)(an2＋bn＋c)对一切正整数

12结论．(3k2＋11k＋10)，(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝k(k＋1)

12则1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝k(k＋1)

12＝k(k＋1)

12[k(3k＋5)＋12(k＋2)][3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．2n＋1＝(k＋1)(k＋2)12＝(k＋1)(k＋2)12∴当n＝k＋1时，，等等式式也也成成立立．综合合(1)(2)，对对n∈N*等式式都都成成立立．．11××3＋13××5＋…＋2．用用数数学学归归纳纳法法证证明明：：n∈N*时，，n1＝.(2n－1)(2n＋1)【互动动探探究究】＝，，＝，，左左边边＝＝右右边边，，所所以以等等式式成成立立．．＋…＋，＋…＋k1k(2k＋3)＋1证明明：：(1)当n＝1时，，左左边边＝＝111××33右边边＝＝12××1＋113(2)假设设当当n＝k(k∈N*)时等等式式成成立立，，即即有有11××3＋13××51(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1则当n＝k＋1时，11×3＋13×51(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝＋＝＝2k＋1(2k＋1)(2k＋3)(2k＋1)(2k＋3)2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝＝，，(2k＋1)(2k＋3)2k＋32(k＋1)＋1所以当n＝k＋1时，等式式也成立立．由(1)(2)可知，对对一切n∈N*等式都成成立．考点3用数学归归纳法证证明不等等式命题题∴当n＝k＋1时，不不等式式成立立，由(1)(2)知，等式式对所所有正正整数数都成成立．．(1)用数学学归纳纳法证证明命命题，，格式式严谨谨，必必须严格格按步步骤进进行；；(2)归纳递递推是是证明明的难难点，，应看看准““目标标”进行变变形；；(3)由k推导到到k＋1时，有有时可可以““套””用其其他证证明方法，，如：：比较较法、、分析析法等等，表表现出出数学学归纳纳法“灵活活”的的一面．．－8(k＋1)－9＝9(32k+2－8k－9)＋9·8k＋9·9－考点4用数学学归纳纳法证证明整整除性性命题题例4：试证证：当n为正整整数时时，f(n)＝32n+2－8n－9能被64整除．．由于32(k+1)+2即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，解析：：方法法一：：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显显然成成立．．(2)假设当当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k+2－8k－9能被64整除．【互动探究】3．求证：二二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．错源：由n＝k变化到n＝k＋1时理解不透透彻纠错反思：：数列中的的不等式常常用的放缩缩方法有：：利用分式式的性质、利利用根式的的性质、利利用不等式式的性质、、利用二项项展开式、利用函函数的性质质等进行放放缩.①②③【互动探究】“归纳——猜想——证明”是一一个完整的发现问题和解解决问题的的思维模式式，对于探探索命题特特别有效，，要求善于发现规规律，敢于于提出更一一般的结论论，最后进进行严密的的论证．1．用数学归归纳法证明明问题时应应注意：①第一步验验证n＝n0时，n0并不一定是是1；②第二步证证明的关键键是要运用用归纳假设设，特别要要弄清由k到k＋1时命题的变化；③由假设n＝k时命题成立立，证n＝k＋1时命题也成成立，要充分利