【优化方案】高三数学一轮复习 第8章8.3空间图形的基本关系及公理课件 文 北师大

§8.3空间图形的基本关系及公理

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.3空间图形的基本关系及公理双基研习•面对高考1．空间图形的基本关系(1)点和直线的位置有两种：__________和点在直线外．(2)点和平面的位置有两种：点在平面内和____________．(3)空间两条直线的位置关系有三种：_________、相交直线和____________．双基研习•面对高考基础梳理点在直线上点在平面外异面直线平行直线(4)空间直线和平面的位置关系有三种：__________________、直线和平面相交、_______________．(5)空间两平面的位置关系有两种：_____________________________．

直线在平面内直线与平面平行两平面平行和两平面相交提示：不一定，可能存在平面γ，使aγ，bγ.思考感悟若aα，bβ，则a，b就一定是异面直线吗？2．空间图形的公理及等角定理两点所有的点在平面内有且只有A、B、C三点确定有且只有α∩β＝l，且A∈l有一个公共点平行a∥cB′O′3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的___________就是异面直线a，b所成的角．如果两条异面直线所成的角是_______，则称这两条直线互相垂直．锐角或直角直角课前热身1．(教材习题改编)如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(

)A．平行B．垂直C．相交成60°D．异面成60°答案：D2．若三个平平面两两相相交，且三三条交线相相交于一点点，则这三三个平面把把空间分成成()部分．A．5B．6C．7D．8答案：D3．下列四个个命题中，，正确命题题的个数是是()①空间不同三三点确定一一个平面；；②垂直于同一一直线的两两直线平行行；③一条直线和和两平行线线中的一条条相交，也也必和另一一条相交；；④两组对边相相等的四边边形是平行行四边形．．A．0B．1C．2D．3答案：A4．(2010年西安调研研)已知a、b是异面直线线，下列命命题：①存在一个平平面α，使a∥α，且b∥α；②存在一个平平面α，使a⊥α且b⊥α；③存在一个平平面α，使a⊂α，且b与α相交；④存在一个平平面α，使a，b到平面α的距离相等等．其中正确命命题是________．答案：①③④5．如图所示示，在正方方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与C1B所成的角是是________．考点探究•挑战高考考点突破考点一共面问题证明若干条条线(或若干个点点)共面，一般般来说有两两种途径：：一是首先先由题给条条件中的部部分线(或点)确定一个个平面，，然后再再证明其其余的线线(或点)均在这个个平面内内；二是是将所有有元素分分为几个个部分，，然后分分别确定定几个平平面，再再证这些些平面重重合．例1【易错警示示】本题易错错点是不不能把证证明C、D、F、E共面转化化为C、H、F、E共面，在在分析题题意时，，应仔细细分析问问题中每每一句话话的含义义．考点二三点共线与三线共点问题利用两平平面交线线的惟一一性，证证明诸点点在两平平面的交交线上是是证明空空间诸点点共线的的常用方方法．证证明点共共线的方方法从另另一个角角度讲也也就是证证明三线线共点的的方法．．证明线共共点，基基本方法法是先确确定两条条直线的的交点，，再证交交点在第第三条直直线上，，也可将将直线归归结为两两平面的的交线，，交点归归结为两两平面的的公共点点，由公公理2证明点在在直线上上．例2【思路点拨拨】(1)先证E，F，G，H四点共面面，再证证EF，GH交于一点点，然后后证明这这一点在在AC上．(2)画出图形形，模仿仿(1)进行证明明．∴EF∥HG，且EF>HG.所以四边边形EFGH为梯形．．设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，所以P在两平面面的交线线BD上，所以EH、FG、BD三线共点点．【易错警示示】证明线共共点时，，两条直直线相交交可能缺缺乏理论论依据．．变式训练练1如图所示示，O1是正方体体ABCD－A1B1C1D1的上底面面A1B1C1D1的中心，，M是对角线线A1C和截面B1D1A的交点．．求证：O1、M、A三点共线线．证明：∵A1C1∩B1D1＝O1.又B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C.∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．考点三异面直线所成的角与异面直直线相交交的问题题有异面面直线的的判定，，异面直直线所成成的角，，异面直直线的公公垂线及及异面直直线间的的距离，，这其中中最重要要的是异异面直线线所成的的角．求求异面直直线所成成的角，，一般是是通过平平行线首首先找到到它们所所成的角角，然后后放到三三角形中中，通过过解三角角形求之之．对于异面面直线所所成的角角也可利利用空间间向量来来求．例3(2010年高考湖湖南卷改改编)如图所示示，在长长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．．求异面面直线A1M和C1D1所成的角角的正切切值．【思路点拨】【名师点评评】求异面直直线所成成的角无无论是用用几何法法还是向向量法，，都要特特别注意意异面直直线所成成角的范范围是(0°，90°]．变式训练练2(2010年高考大大纲全国国卷Ⅰ)正三棱柱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面面直线BA1与AC1所成的角角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空空间直角角坐标系系如图所所示，则则B(0，－1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(－1,0,1)，方法感悟方法技巧1．主要题型的的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直直线或点确定定一个平面，，再证其余直直线或点也在在这个平面内内(即“纳入法”)．(如例1)(2)要证明“点共线”可将线看作两两个平面的交交线，只要证证明这些点都都是这两个平平面的公共点点，根据公理理3可知这些点在在交线上，因因此共线．(如例2)2．判定空间两两条直线是异异面直线的方方法(1)判定定理：平平面外一点A与平面内一点点B的连线和平面面内不经过该该点B的直线是异面面直线．(2)反证法：证明明两线不可能能平行、相交交或证明两线线不可能共面面，从而可得得两线异面．．3．求两条异面面直线夹角的的大小，一般般方法是通过过平行移动直直线，把异面面问题转化为为共面问题来来解决．根据据空间等角定定理及推论可可知，异面直直线夹角的大大小与顶点位位置无关，往往往将角的顶顶点取在其中中的一条直线线上，特别地地，可以取其其中一条直线线与另一条直直线所在平面面的交点或异异面线段的端端点．总之，，顶点的选择择要与已知量量有关，以便便于计算，具具体步骤如下下：(1)利用定义构造造角，可固定定一条，平移移另一条，或或两条同时平平移到某个特特殊的位置，，顶点选在特特殊的位置上上；(2)证明作出的角角即为所求角角；(3)利用三角形来来求解．(如例3)失误防范1．异面直线是是不同在任何何一个平面内内的两条直线线，而不是分分别在两个平平面内．一定定要理解定义义．2．求异面直线线所成的角要要特别注意异异面直线所成成角的范围是是(0°，90°]．考情分析考向瞭望•把脉高考空间中的位置置关系是每年年高考必考的的知识点之一一，考查重点点是异面直线线的判定，异异面直线所成成的角．题型型既有选择题题、填空题，，又有解答题题，难度为中中低档；客观观题主要考查查异面直线所所成角的概念念及求法，主主观题考查较较全面，考查查异面直线所所成角的概念念、求法、判判定及异面直直线的判定，，同时还考查查了学生的空空间想象能力力和运算能力力．预测2012年高考仍将以以考查异面直直线所成的角角为主要考查查点，重点考考查学生的空空间想象能力力和运算能力力．真题透析例(2009年高考安徽卷卷)对于四面体ABCD，下列命题正正确的是________(写出所有正确确命题的编号号)．①相对棱AB与CD所在的直线异异面；②由顶点A作四面体的高高，其垂足是是△BCD三条高线的交交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这这两条高所在在的直线异面面；④分别作三组相相对棱中点的的连线，所得得的三条线段段相交于一点点；⑤最长棱必有某某个端点，由由它引出的另另两条棱长度度之和大于最最长棱．【思路点拨】画出图形，根根据各个命题题寻找其成立立的根据，或或者寻找其不不成立的反例例．【解析】命题①中，如果AB，CD共面，则四点A，B，C，D共面，ABCD为平面图形，与ABCD是四面体矛盾，故命题①正确；命题②中，如果命题题成立，即顶顶点A在底面BCD上的射影为底底面三角形的的垂心，如图图(1)所示，则CD⊥AH，CD⊥BE，根据线面垂垂直的判定定定理，知CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可以证证明AD⊥BC，AC⊥BD，但这些条件件在题目的已已知中是不具具备的，故命命题②不一定成立，，即命题不正正确；命题③中，如图(2)所示，当△ABC，△ABD的AB边上的高的垂垂足为同一个个点时，命题题不成立，这这种情况是完完全可能的，，如当CA＝CB，DA＝DB时，故命题③不正确；命题④中，如图(3)所示，E，F，G，H，I，J分别为BC，AD，CD，AB，AC，BD的中点，连接接各中点，容容易证明四边边形EHFG为平行四边形形，故HG，EF相交于一点，，且该点平分分两线段，即即交点为线段段HG的中点，设为为O；同理可以证证明HG，IJ也相交于一点点，且在该点点互相平分，，即线段IJ也过线段HG的中点O，故三组对棱棱中点的连线线交于一点，，故命题④正确；命题⑤中，如图(2)所示，设最长长棱为AC，假设结论不不成立，即不不存在端点，，则由它引出出的另两条棱棱的长度之和和大于最长棱棱，即从两个个端点A，C引出的两条棱棱的长度之和和均不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，两个不等式式相加，得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC.在△ABC，△ADC中AB＋CB>AC，AD＋CD>AB，两式相加得得(AB＋CB)＋(AD＋CD)>2AC，得出矛盾结结论，说明假假设不成立，，故命题⑤正确．故填①④⑤.【答案】①④⑤【名师点评】立体几何中很很多命题往往往是用反证法法证明，如本本题中的命题题①、⑤.这类命题的特特点是没有可可以直接利用用的定理，直直接证明非常常困难，遇到到这种情况往往往使用反证证法解决．证证明空间三线线交于一点(这样的的问题题我们们称之之为三三线共共点)，基本本思路路是先先证明明两条条直线线交于于一点点(这只要要证明明这两两条直直线共共面且且不平平行)，再证证明第第三条条直线线也过过这个个点即即可．．1．在四四棱台台ABCD-A1B1C1D1中，上上下底底面均均为正正方形形，则则DD1与BB1所在直直线是是()A．相交交直线线B．平行行直线线C．不垂垂直的的异面面直线线D．互相相垂直直的异异面直直线解析：：选A.由于几几何体体是四四棱台台，所所以DD1与BB1延长后后相交交于一一点，，即DD1与BB1所在直直线是是相交交直线线．名师预测2．以下下四个个命题题中，，正确确命题题的个个数有有()①不共面面的四四点中中，其其中任任意三三点不不共线线；②若点A、B、C、D共面，，点A、B、C、E共面，，则A、B、C、D、E共面；；③若直线线a、b共面，，直线线a、c共面，，则直直线b、c共面；；④依次次首首尾尾相相接接的的四四条条线线段段必必共共面面．．A．0B．1C．2D．3解析析：：选B.①正确确，，可可以以用用反反证