第22章 二次函数的应用 销售问题讲义 2021-2022学年九年级上册数学（解析版）

二次函数的应用销售问题一、理解常见销售词语售价：是指销售价，是商家自己定出来的商品卖出去的价格；成本：是指买进商品所用的价格及运输、装卸等其他费用，一般是指进货价；批发价：一般是指厂家直接给予零售商的货物价格；零售价：是指商业零售单位向个人或集团消费者出售商品的价格，一般也称市场价，零售与批发相对；盈利：一般是指收益、利润；毛利润：一般是指销售价格减去原料进价减去人工费；纯利润：一般地，纯利润等于毛利润减去经营费用；原价：一般是指原来的销售价，即原销售价；现价：一般是指现在的销售价，即现销售价；定价：一般是指销售价；销售利润：销售利润等于售价减去进价；销售单价：是指一件商品的销售价；销售数量：是指卖出去的商品的数量；二、总利润的求法利润=售价-进价总利润=单件商品利润*总数量总利润=（售价-进价）*[原数量+现增的数量或（-现减的数量）]万能公式：一件商品的利润、盈利、原利润+涨价、原利润-降价每涨价或降价，就增加或减少多少件中的“多少”现售价-原售价现售价-原售价涨（降）的值总利润=（现售价-进价）*【原销售量-*增（或减）的值】涨（降）的值是指涨价（降价）多少元中的“多少”三、例题讲解例题、（2021秋•温州月考）某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价x（x≥0）元．（1）写出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式．（2）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润＝毛利润﹣经营费用）最大，超市对该商品售价为元，最大纯利润为元．【分析】进价：40元原销售价：50元原销售量：500件涨值：1元增加的值：10件现销售价：（50+x）元（50+x）—40（50+x）—50，即为x销量减少10件中的“10”现售价现售价-原售价涨（降）的值总利润=（现售价-进价）*【原销售量-*增（或减）的值】涨（降）的值是指涨价1元中的“1”【解答】（1）由题意得：y＝500﹣10x（0≤x≤50）；（2）W＝（10+x）（500﹣10x）＝﹣10（x﹣20）2+9000，∴a＝﹣10，开口向下，对称轴是直线x＝20，∴0≤x≤20，毛利润w随x的增大而增大；（3）由题意得：纯利润＝毛利润﹣经营费用，∴纯利润＝（10+x）（500﹣10x）﹣（50+x）（500﹣10x）×20%＝x（400﹣8x）＝﹣8（x﹣25）2+5000，∴50+25＝75，答：该商品售价为50+25＝75元时，最大纯利润为5000元．【解析技法】第一步：用“万能公式”求出利润表达式；第二步：化简表达式，用配方法配方求最值；第三步：根据题意再求其他问题，然后作答。变式训练1、（2021秋•惠东县月考）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【解答】当销售单价上涨了x元时，销量是（230﹣10x）件，∵每件文具售价不能高于40元，∴0＜x≤20，列式：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x），整理得：y＝﹣10x2+130x+2300（0＜x≤20，x是正整数），利用配方法写成顶点式：＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵x是正整数，∴x取6或7，当x＝6时，y＝2720，当x＝7时，y＝2720，答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．变式训练2、（2021•青岛模拟）某药店购进一批成本为每件30元的医用级免洗洗手液，当售价为每件35元时，每天可销售90件，经调查发现：该洗手液销售单价每增长2元，销售量就减少4件．（1）若该药店按单价不低于成本单价，且不高于50元销售，当销售单价x（元）定为多少时，才能使销售该洗手液每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（2）若该药店要使销售该洗手洗每天获得的利润不低于800元，每天的销售量最少应为多少瓶？【解答】（1）由题意，得：∵﹣2＜0，∴当x＜55时，w随着x的增大而增大．又∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝1200．销售单价定为50元时，使得销售该洗手液每天获得的利润最大，最大利润是1200元，（2）由（1）得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得40≤x≤70，∴当x＝70时，销售量最少，∴每天的销售量最为y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．变式训练3、（2021•丹东模拟）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元，超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．（1）试求出每周的销售量y（件）与每件售价x元之间的函数表达式；（不需要写出自变量取值范围）（2）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8250元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？（3）超市管理部门要求这款T恤衫售价不得高于110元，则当每件T恤衫售价定为多少元，每周的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】（1）函数的表达式为y＝600﹣10×（x﹣90），整理得y＝﹣10x+1500，∴y＝﹣10x+1500；（2）根据题意得：（x﹣80）（﹣10x+1500）＝8250，解得x1＝95，x2＝135（不合题意舍去），所以，当销售单价为95元时，每月可获利8250元；（3）设每月获得利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10（x﹣115）2+12250，∵﹣10＜0，∴当90≤x≤110时，w的值随着x的增大而增大，∴当x＝110时，w最大值＝﹣10•（110﹣115）2+12250＝12000，答：当销售单价为110元时，该超市每月获得利润最大，最大利润是12000元．四、巩固练习1．（2021•市南区校级一模）某商场销售一种小商品，进货价为8元件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：；（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价：；【解答】（1）由题意得：y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；答：y＝﹣10x2+280x﹣1600；（2）令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，解得：x1＝11，x2＝17，∴销售单价为11元或17元；答：11元或17元；2．（2021•河南模拟）2021年世界园艺博览会在江苏省扬州市举行，旅游景点销售一批印有会标的文化衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，在此基础上为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降1元，平均每天可以多售出2件．（1）若降价后商场销售这批文化衫每天盈利1200元，那么单价降了多少元？（2）当文化衫的单价降多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？【解答】（1）设单价降了x元．则（20+2x）（40﹣x）＝1200，解得x1＝10（舍弃），x2＝20，所以，单价降了20元；（2）W＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x+10）（x﹣40）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵﹣2＜0，∴W有最大值，∴当x＝15时，Wmax＝1250．答：降价15元时利润最大，最大利润为1250元．3．（2020秋•奉化区期末）某网店销售一批商品，平均每天可售出50件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？【解答】（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，则该网店一天可获利润为y＝（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；（2）当y＝2100时，﹣2x2+30x+2000＝2100，解得：x1＝10，x2＝5，∵尽快减少库存，降价越多越好，∴x＝10，所以，每天盈利2100元，需降价10元．（3）y＝﹣2x2+30x+2000＝，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝7.5，ymax＝2112.5（元）．答：每件商品降价7.5元时，可获得最大利润2112.5元．4．（2020秋•云县校级期末）某公司研发了一种新型电子产品，每件电子产品的成本价为40元，试销后发现：当售价定位70元/件时，每天能卖出50件，每件电子产品的价格每降1元，每天销售量就会增加5件，设每件电子产品售价x元，每天的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当售价定为多