《九招解决数列求和》

《九招解决数列求和》数列求和是高考中命题的热点和重点，是每年高考的必考内容，是研究数列问题的核心，下面就数列求和的常用方法作简单的介绍，供参考。直接运用等差、等比数列的求和公式求解举例1等比数列{an}的公比q＞1,a10＝1,Sn＝a1＋a2＋…＋an,＝＋＋…＋,求使Sn＞成立的最小自然数n。解析:∵。∴{}是以为首项，为公比的等比数列。Sn＝，＝，∵q＞1,∴，又Sn＞，即＞，得a12qn－1＞1.又a10＝1,a1q9＝1。代入得qn－19＞1.又q＞1,∴n＞19.故Sn＞成立的最小自然数n为20.拆项转化为等差、等比数列求和举例2求1＋3＋5＋…＋。解析:an＝＝2n－1＋即原式＝（1＋）＋（3＋）＋…＋（2n－1＋）＝（1＋3＋5＋…＋2n－1）＋（＋＋…＋）＝n2＋1－.并项法（转化为等差数列求和举例3求和:Sn＝－1＋22－32＋42－52＋…＋（－1）nn2.分析:对于正负相间的数列求和先用奇、偶分析法两项合并为一项，然后转化为等差、等比数列求和。∵－（n－1）2＋n2＝[n－（n－1）][n＋（n－1）]＝2n－1.∴当n为偶数时，Sn＝－1＋22－32＋42＋…－（n－1）2＋n2＝3＋7＋…＋2n－1＝（3＋2n－1）＝n（n＋1）,当n为奇数时，Sn＝Sn－1－n2＝（n－1）n－n2＝－n（n＋1）综上可知Sn＝（－1）nn（n＋1）。变换通项法举例5求5＋55＋555＋…前n项和。解:an＝＝（10n－1）故Sn＝（10－1＋102－1＋…＋10n－1）＝（10n－1）－n。注:形如a,aa,aaa,…前n项和都可用此法。其中an＝＝（10n－1），a∈N,1≤a≤9.裂项相消法将数列中的每一项都拆分成几项差的形式使一些项相互抵消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。举例5求数列前项的和解:＝，＝。评注:一般地，若为等差数列，，数列{}的求和就可采用裂项相消法，要判断清楚消项后余下哪些项不然会出错。倒序相加法（类比、联想等差数列前项和的公式推导方法）举例6已知函数。（1）若，证明为定值；（2）若，求。解：，则有＝＝＝。（2）＝评注：遇到首尾相加为常数的数列求和，应先倒序，再变形，再相加，这是常见的一种求和方法。乘比错位相减法若为等差数列，{bn}为等比数列，则数列{anbn}的前项和就可用此法，举例7为等比数列，Tn＝na1＋（n－1）a2＋…＋2an－1＋an,T1＝1,T2＝4,求Tn。解:T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝4，得a2＝2，即an＝2n－1所以Tn＝n＋（n－1）·2＋（n－2）·22＋…＋2·2n－2＋2n－1,2Tn＝n·2＋（n－1）·22＋…＋2·2n－1＋2n,两式相减得Tn＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝2n＋1－2－n.即Tn＝2n＋1－2－n.运用数列的周期性变化求和举例8数列满足an＋1＝an－an－1（n≥2）,a1＝a,a2＝b,求S100.解:a3＝b－a,a4＝－a,a5＝－b,a6＝a－b,a7＝a＝a1,a8＝b＝a2,…即an＋6＝an是一个周期为6的数列且S6＝0，故S100＝S96＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝2b－a.九．不求通项，利用递推关系求和举例9数列的前n项和为，已知，n＝1,2,3…写出与的递推式（n2），并求关于n的表达