【高考风向标】年高考数学一轮复习 第十章 第1讲 合情推理和演绎推理课件 理

第十章推理与证明第1讲合情推理和演绎推理考纲要求考纲研读合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.在数学中，由于所有命题的正确性都是用演绎推理来证明的，所以从形式上看，主要考查类比推理和归纳推理．合情推理需根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后再提出猜想．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑.1．合情推理归纳推理类比推理

(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理． (2)合情推理可分为__________和__________两类： ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由_____到_____、由_____到______的推理；部分整体个别一般

②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理．

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．在△ABC中，若BC⊥AC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝__________.2．已知正三角形内切圆的半径是高的—，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________.1314正四面体的内切球的半径是高的3．在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax＋By＋C＝0，圆心在(x0，y0)的圆的一般方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2；则类似地，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_________________，球心在(x0，y0，z0)的球的一般方程为____________________________.Ax＋By＋Cz＋D＝0(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2等差数列等比数列an＝a1＋(n－1)dbn＝b1qn－1an＝am＋(n－m)dbn＝_________

则数列{cn}为等差数列若dn＝____________， 则数列{dn}为等比数列bmqn－m

4．类比是一个伟大的引路人．我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：5.(2010年广东广州海珠区测试)如图10－1－1，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下一个直角三角形按图10－1－1所标边长，由勾股定理得c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－ABC，若用s1，s2，s3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，你类比得到的结论是_______________.图10－1－1例1：①(2011年山东)设函数

f(x)＝考点1归纳推理

xx＋2，观察：f1(x)＝f(x)＝

xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝

x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝

x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝

x15x＋16，

… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝______________.②(2011年陕西)观察下列等式式1＝1.2＋3＋4＝9.3＋4＋5＋6＋7＝25.4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝＝49.照此规规律，，第五五个等等式应应为_____________________．解析：：把已知知等式式与行行数对对应起起来，，则每每一个个等式式的左左边的的式子的的第一一个数数是行行数n，加数数的个个数是是2n－1；等等式右右边都都是完完全平方方数，，行数等号左边的项数111＝12＋3＋4＝923353＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝4947则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5＋6＋…＋[5＋(2×5－1)－1]＝92.即5＋6＋…＋13＝81.答案：：5＋6＋…＋13＝＝81归纳推推理的的一般般步骤骤：①①通过过对某某些个个体的的观察察、分析和和比较较，发发现它它们的的相同同性质质或变变化规规律；；②从从已知知的相相同性质中中推出出一个个明确确表达达的一一般性性命题题．如如以上上两题题归纳纳总结结时，，看等号号左边边的变变化规规律，，右边边结果果的特特点，，根据据以上上规律律写出出第五个等等式，，注意意行数数、项项数及及其变变化规规律是是解答答本题题的关关键．．【互动动探究究】1．观观察以以下等等式：：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝1513＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225可以推推测13＋23＋33＋…＋＋n3＝__________(用用含有有n的式子子表示，，其中中n为自然然数)．n2(n＋1)2

4考点2类类比比推理理例2：在直角角△ABC中，两两直角角边的的长分分别为为a，b，直角角顶棱SA，SB，SC两两垂垂直，，SA＝a，SB＝b，SC＝c，点S到平面面ABC的距离离为h，类比比上述述结论论，写写出h与a，b，c的等式式关系系并证明．．如图D16，过S作△ABC所在平平面的的垂线线，垂垂足为为O，连接接CO并延长长交AB于D，连接接SD.∵SO⊥平面面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面面ABC.∴SC⊥AB，SC⊥SD.∴AB⊥平面SCD.∴AB⊥SD.图D16类比推理经经常用到转转化与化归归的思想，，如空间转转化为平面、、三角形类类比三棱锥锥、正方形形类比正方方体、实数数类比到向量、椭圆圆类比到双双曲线、等等差数列类类比到等比比数列等．．类比推理的一般步步骤：①找找出两类事事物之间的的相似性或或一致性；；②用一类事物的性性质去推测测另一类事事物的性质质，得出一一个明确的的命题(猜想).【互动探究究】2．已知O是△ABC内任意一点点，连接AO，BO，CO并延长平面几何题题，其证明明常采用““面积法””．请运用类比比思想，对对于空间中中的四面体体V—BCD，存在什么么类似的结论论？并用体体积法证明明．解：在四面体V—BCD中，任取一一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别别交四个面面于E，F，G，H点．考点3演演绎推理理例3：(2011年江西)已知两个等等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数数列{an}的通项公公式；(2)若数数列{an}唯一，求求a的值．演绎推理是是一种必然然性推理，，只要前提提和推理形形式正确，其结结论也必然然正确．【互动探究究】3．(2011年广东湛江江测试)命题：“若若空间两条条直线a，b分别垂直平面面α，则a∥b”，学生小小夏这样证证明：设a，b与面α分别相交于于A，B，连接A，B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，∴a⊥AB，b⊥AB.①②∴a∥b.③②⇒③这里的证明明有两个推推理，即：：①⇒②和和②⇒③.老师评改改认为小夏的证明明推理不正正确，这两个推理理中不正确确的是_______.考点4信息给予题题则下列结论论恒成立的的是()A．T，V中至少有一个关于乘乘法是封闭闭B．T，V中至多有一一个关于乘乘法是封闭闭C．T，V中有且只有有一个关于于乘法是封封闭D．T，V中每一个关关于乘法是是封闭例4：(2011年广广东)设S是整数集集Z的非空子子集，如如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的的乘法是是封闭的的．若T，V是Z的两个不不相交的的非空子子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T，∀x，y，z∈V，有xyz∈V.答案：A解析：由于T∪V＝Z，故整数数1一定定在T，V两个集合合中的一一个中，，不妨设设1∈T，则∀a，b∈T，由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封封闭．另一方面面，当T＝{非负负整数}，V＝{负整整数}时时，T关于乘法法封闭，，V关于乘法法不封闭闭，故D不对；；当T＝{奇数数}，V＝{偶数数}时，，T，V显然关于于乘法都都是封闭闭的，故故B，C不对．．从而本题题就选A.【互动探探究】4．(2011年四川)设S为复数集集C的非空子子集．若对任意意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集集．下列列命题：：①集合S＝{a＋bi|(a，b为整数，，i为为虚数单单位)}为封闭闭集；②若S为封闭集集，则一一定有0∈S；③封闭集集一定是是无限集集；④若S为封闭集集，则满满足S⊆T⊆C的任意集集合T也是封闭闭集．其中真命命题是______(写出所所有真命命题的序序号)．．①②1．合情情推理主主要包括括类比推推理和归归纳推理理．数学学研究中中，在得到一个个新结论论之前，，合情推推理能帮帮助猜测测和发现现结论，，在证明明一个数学学结论之之前，合合情推理理常常能能为证明明提供思思路与方方向．2．演绎绎推理是是从一般般的原理理出发，，推出某某个特殊殊情况下下的结论的推理理方法，，是由一一般到特特殊的推推理，常常用的一一般模式式是三段段论．数学学问题的的证明方方法主要要通过演演绎推理理来进行行．3．