材料力学-5 -弯曲应力

第五章弯曲应力§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3梁横截面上的切应力§5–4梁的正应力和切应力强度条件梁的合理截面§5–5非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心§5–6考虑材料塑性时的极限弯矩§5－１引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

切应力t弯矩M

正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):§5－2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4.几何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。sxsx（三）静力学关系：……(3)EIz杆的抗弯刚度。……(3)面积矩与形心位置惯性矩、惯性积惯性矩和惯性积的平行移轴定理截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的几何性质（一）面积（对轴）矩：(与力矩类似)

是面积与它到轴的距离之积。dAxyyx（二）形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标（三）惯性矩：

是面积与它到轴的距离的平方之积。

dAxyyxr

（四）极惯性矩：是面积对极点的二次矩。dAxyyxr

（五）惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y

是对称轴，则Ixy=0（六）平行移轴定理：以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC注意:C点必须为形心(七)简单截面的惯性矩

DBHxyxyDdbBhHxyxy例2

求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B

建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO三、最大正应力：……(5)DdDd=abBhH例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求应力18030xM+求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030xM+§5－3梁横截面上的切应力一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

切应力与剪力平行；

距中性轴等距离处，切应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图cFx=0-

(dx)=0N*+dN*-N*N*+dN*N*

(dx)dxx-

(dx)=0N*+dN*-N*其中N*＝xdAA

*N*+dN*=(x+dx)dAA

*x=MzyIz

Sz*

=ydAA*N*+dN*N*

(dx)=MzIzSz*由切应力互等Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz为整个截面对z轴之惯性矩；δ

为y点处截面宽度。2、几种常见截面的最大弯曲切应力①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大切应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：exyzPQeQeh§5-4

梁的正应力和切应力强度条件•梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和切应力强度条件2、正应力和切应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts4、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。、校核强度：Œ校核强度：设计截面尺寸：Ž设计载荷：解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+xxM+求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mQ–+xxM+y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x2.5kNm-4kNmM二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为bh强度：正应力：切应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaazD0.8Da12a1z工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2、根据材料特性选择截面形状sGz（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Pxy1zCyCy2例4梁及截面如图，y2=2y1，IZC、q、L均已知，[y]=3[L]、试确定a的合理长度；如果y2=4y1，a的合理长度又是多少？解：弯矩如图.

危险面的应力同时达到极限状态合理。aqaMxM1M2LABD1xD2D3y1zCyCy2aqaLABD1xD2D3时，合理。如果y2=4y1，

a的合理长度又是多少？MxM1M24

La=时，合理。D1xD2D3MxM1M2三、合理布置外力（包括支座），使M

max

尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称MxqL2/10§5-5

非对称截面梁的平面弯曲•开口薄壁截面的弯曲中心几何方程与物理方程不变。PxyzO依此确定正应力计算公式。切应力研究方法与公式形式不变。弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。（如前述坐标原点O）PxyzO槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzPPsMQe弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：CCCQyeCssss§5-6

考虑材料塑性时的极限弯矩全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。sessss理想弹塑性材料的s-e