用三线扭摆法测定物体转动惯量及其实验误差

用三线扭摆法测定物体转动惯量及其实验误差摘要：转动惯量；质量分布；三线扭摆；平行轴定理；实验误差MeasuringMomentofInertiaUsingTrilinearPendulumanditsExperimentalError(SchoolofElectricalEngineering,Nanjing,211189)Abstract:Throughtheexperimentwithstopwatch,levelgauge,verniercaliper,meterandinstrumentusing,graspthequalityandcycleequivalentmeasurementmethod;learntousethethreewirependulumformeasuringmomentofinertiaoftheprincipleandmethodofmomentofinertiaofrigidbody,andmassdistributionoftherelationship;consolidatefinallyerrorandthetestresultswereanalyzed.Momentofintertia;Massdistribution;torsionalpendulum;parallelexistheorem;Experimentalerror转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。1实验原理1.1测定悬盘绕中心轴的转动惯量J三线摆如图所示，有一均匀圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角行的三个顶点引出三条悬线对称地连接在置于上部的一个水平小圆盘的下面，小圆盘可以绕自身的垂直轴转动。当均匀圆盘（以下简称悬盘）三条悬线等长时，轻轻转动上部小圆盘，由于悬线的张力作用，悬盘即绕上下圆盘的中心连线轴OO'周期地反复扭转运动。当悬盘离开平衡位置转过某个小角度θ时，整个悬盘的位置也随之升高h。下面分析三线扭摆的运动。忽略摩擦力的影响，可知，悬盘扭转运动过程中机械能守恒。（1）式中m是悬盘的质量，是转动惯量。mgh对应于某时刻悬盘的重力势能（取悬盘在平衡位置时重力势能为零），对应于悬盘绕中心轴OO'的转动的动能，对应于悬盘作上下升降运动时的平动动能。在悬线足够长，且悬盘作小角度转动时，远小于。略去式（1）中平动动能并对时间求导，则有（2）当扭摆达到最大振幅时，在很小的情况下，有（3）将（3）带入（2）后可得显然上式是一个简谐运动方程，其解为式中为悬盘转动的角频率，为角振幅。因为转动周围，于是有（5）这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式。1.2测定圆环绕中心轴的转动惯量J把质量为M的圆环放在悬盘上，使两者中心轴重合，组成一个系统。测得它们绕中心轴转动的周期为，则它们总的转动惯量为（6）得圆环绕中心轴的转动惯量为（7）圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为（8）式中分别为圆环外、内半径。1.3测定圆柱体绕中心轴的转动惯量J将两个质量均为M’、半径为R、形状相同的圆柱体对称地放置在悬盘上，柱体中心离悬盘中心的距离为x，按上法测得两圆柱体和悬盘绕中心轴的转动周期为T想，则两圆柱体绕中心轴的转动惯量为：根据转动惯量的平行轴定理，圆柱体绕中心轴的转动惯量的理论计算公式为：。2实验过程1.调整悬盘水平：将水平仪置于悬盘任意两悬线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间.再把水平仪放到另外两悬线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间,这时悬盘水平.2.测定仪器常数R,r：r和R分别为上下圆盘中心到悬点的距离,通过测出的两圆盘的相邻两个悬点间的距离a和b由等边三角形关系算出r和R.3.测出两盘之间的垂直距离H、圆环的内外直径2R1和2R2、圆柱体直径2Rx及圆柱体中心至悬盘中心的距离x.4.并测量圆环,圆柱体和悬盘的质量.5.测量空盘绕中心轴AB转动的运动周期:轻轻转动上盘(上盘上有小转动杆),带动下盘转动,这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动.注意扭摆的转角控制在5°以内.用积累放大法测出扭摆运动的周期(测量摆动50次所需的时间)，重复三次取平均值，求出悬盘的摆动周期T.6．测量待测圆环与下盘共同转动的周期:将待测圆环置于下圆盘上,注意使两者中心重合,按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1.7.测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期Tx.8.记录好以上各物理量.9.将各实验结果与理论值相比较，分析误差原因.3实验数据处理及结果分析3.1转动周期的测定

摆动50需时间t/s悬盘悬盘加圆环悬盘加两圆柱体183.92182.02181.54283.20282.07280.16383.06381.52380.74平均83.39平均81.87平均80.81周期t/sT=1.668T1=1.637T2=1.616

3.2各长度量和质量的测定项目次数上圆盘悬孔间距离a/10m悬盘悬孔间距离b/10m14.0513.8024.0213.8534.0513.85平均a=4.04b=13.83

项目

次数待测圆环

圆柱体直径2R/10m外直径2R/10m内直径2R/10m111.95810.1022.798211.96210.0822.800311.95610.0862.802平均R=5.980R=5.045R=1.400

r=a=2.33cmR=b=7.98cm实际悬盘半径R0=8.500cm两圆盘之间的垂直距离H=0.3660m圆柱体中心至悬盘中心的距离x=0.0540m悬盘质量m=509.99*10-3kg圆环质量M=292.11*10-3kg圆柱体质量M’=174.55*10-3kg(g取9.794m/s2)3.3各转动惯量的计算（1）悬盘绕中心轴的转动惯量实验值=1.790*10-3kg*m2理论值=1.842*10-3kg*m2（2）圆环绕中心轴的转动惯量实验值=9.32*10-4kg*m2理论值=8.94*10-4kg*m2(3)圆柱体绕中心轴的转动惯量实验值=1.05*10-3kg*m2则Jx=5.25*10-4kg*m2理论值=5.26*10-4kg*m23.4实验结果J实验值/kg*m2J理论值/kg*m2百分误差/％悬盘1.790*10-31.842*10-32.823圆环0.932*10-30.894*10-34.251圆柱体0.525*10-30.526*10-30.1904实验结果分析4.1实验注意事项1、游标卡尺的正确使用强调测量杆与钻台将碰到时，正确读数。用完后，测量杆和测量砧之间要松开一段距离。2、要正确的使用水准仪，尽量使得下盘调节水平。3、测量时间时，应该在下盘通过平衡位置时开始记数，在实验中对对平衡位置的判断存在一个误差，对记录的周期有影响。4、H0为平衡时上下盘间的垂直距离，当下盘加上了待测物体后，距离变成了H。在计算的过程中我们仍然有H0的值来近似H，对计算结果有一定的影响，4.2三线摆系统误差(1)2H-h≈2H的影响上升高度通过分析误差取r=2.33cm,R=7.98cm,H=0.366m,从中可以看出θ越大时,近似的误差越大。须注意,当转角超过15°时,由此带来的误差达到0.04%以上。(2)引起的误差在转动惯量的推导中,为简化计算,取,但是会带来误差,而且随着角度的增大而增大,当转角超过10°时,由此带来的误差Er达到0.2%以上。5总结转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。本文介绍了三线扭摆法测转动惯量的方法，并进行