第四章 Microsoft PowerPoint 演示文稿

第4章冲量和动量空气动力学家、火箭专家钱学森第4章冲量和动量

4.1

质点动量定理

4.2

质点系动量定理

4.3

质点系动量守恒定律

4.4

质心质心运动定理

4.1质点动量定理一、动量和冲量由牛顿第二定律：积分,得1.动量2.冲量描述质点运动状态的物理量。描述力对时间累积作用的物理量。在给定时间间隔内,质点所受合外力的冲量,等于质点在此时间内动量的增量。②二、质点的动量定理①为状态量;为过程量,方向沿的方向。为质点所受到的合外力。讨论某方向受到冲量，该方向上动量就增加。微分形式积分形式分量表示例1质量m=1kg的质点M，从O点开始沿半径R=2m的圆周运动，如图。以O点为自然坐标原点，已知M的运动学方程为s=0.5πt2m。求从t1=21/2s到t2=2s这段时间内作用于质点M的合力的冲量。解以M为研究对象质点的速度质点在Ａ点的动量大小质点在Ｂ点的动量大小根据动量定理由图(b)可知冲量的方向例2质量为m

的匀质链条,全长为L,开始时,下端与地面的距离为h。解dl

在落地时的速度LhmllNN′G求当链条自由下落在地面上的长度为l

时，地面所受链条的作用力？LhmllNN′G根据动量定理地面受力例3一篮球质量0.58kg,从2.0m高度下落,到达地面后,以同样速率反弹,接触时间仅0.019s。解篮球到达地面的速率对地平均冲力tF(max)F0.019sO相当于40kg重物所受重力!求对地平均冲力?外力：系统外对质点的作用力。内力：系统内质点间的相互作用力。质点系4.2质点系动量定理两个质点而n

个质点组成的系统由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。微分形式积分形式作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。——质点系的动量定理。2.定理仅适应于惯性系。1.力对时间的累积,等于动量的改变量。1.区分外力和内力。2.内力仅能改变系统内某个物体的动量,但不能改变系统的总动量。讨论注意外力和内力动量定理常应用于碰撞问题越小,则越大。当一定时，注意：例1容器中有大量气体分子，为简单起见，假想每个分子都以速度v碰到铅直的器壁上,v与器壁法线N方向的夹角为α，并以相同的速率和角度弹回来。若单位体积内的分子数为n,每个分子的质量为m,求分子对器壁的压强。解取Δt时间内碰到器壁上的气体分子系统为研究对象,系统总质量为由动量定理碰撞前后分子系统沿N方向的投影分别为故例2一子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，已知两木块的质量分别为m1、m2，子弹穿过两木块的时间各为t1、t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F。解子弹穿过第一木块时,两木块速度相同,均为v1

求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动？子弹穿过第二木块后,第二木块速度变为v2解得例3一钢球m=0.05kg,v=10m/s,以与钢板法线呈45º的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板的碰撞时间为△t

=0.05s。求：在此碰撞时间内钢板所受的平均冲力。解：作用时间△t很短,可以忽略重力的影响。钢板对球的平均冲力球对钢板的平均冲力xyo(((内力远大于外力)对钢球：分量式xyo((钢球所受的平均冲力为钢板所受的平均冲力，方向沿x轴负向。xyo((4.3质点系动量守恒定律一、动量守恒定律由质点系的动量定理：一个质点系所受的合外力为零时，这个系统的总动量将保持不变。即得在直角坐标系中的分量表示：1.系统总动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中,相互作用的内力远大于外力,故往往可忽略外力。讨论3.动量守恒可在某一方向上成立。4.定律中的速度应是对同一惯性系的速度,动量和应是同一时刻的动量之和。6.动量守恒定律在微观高速范围仍适用。5.动量守恒定律只适用于惯性系。例1一长为l=4m,质量为M=150kg的船，静止浮在湖面上。今有一质量m=50kg的人，从船头走到船尾,如图所示。求人和船相对于湖岸各移动的距离，设水对船的阻力忽略不计。解选人和船组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒上式两边同乘，并积分用S和s分别表示船和人相对于湖岸移动的距离，则有由图知例2静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核。已知电子的动量为1.2×10-23kgm/s，中微子的动量为6.4×10-23kgm/s,它们的运动方向相互垂直。求新原子核的动量的大小和方向。αθ解原子衰变前后系统动量守恒所以：因为

与垂直：αθ例3一火箭以v=2.5×103m/s的速率相对地面沿水平方向飞行时分离成两部分，前部是质量为100kg的仪器舱，后部是质量为200kg的燃料容器,若前部相对后部的水平速率为1000m/s。oSyzm1m2求:他们相对地面的速度。燃料容器m2为运动参考系设为火箭分离前相对S的速度，和为分离后仪器舱

m1和燃料容器m2相对S的速度，为分离后m1相对于

m2（

）的速度。取地面为固定参考系S(Oxyz)解oSyzm1m2火箭分离前后只受重力,水平方向动量守恒。对同一惯性系S，有由伽利略速度变换：同在水平方向上,故上式为：解上两式,得：代入数据有：同理，得例4在恒星系中,两个质量分别为m

1

和m2的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为r

时，它们之间的相对速率为多少？解由动量守恒和机械能守恒解得相对速率例5如图示,两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动,B的速度为u,从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t

时，A车的质量为M，速度为v

。ABuvA求时刻t,A

的瞬时加速度。解选A车M和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒ABuvA一、质心1.质心的概念板上C点的运动轨迹是抛物线，C点是板的质心。其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动。ccccccc4.4质心质心运动定理m1mim2c2.质心的位置由n个质点组成的质点系，其质心的位置：对质量连续分布的物体对质量离散分布的系统对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心。说明二、质心运动定律上式两边对时间t

求一阶导数，得m1mim2c再对时间t

求一阶导数，得根据质点系动量定理（因质点系内）作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度——质心运动定律。例1水分子H2O的结构如图,每个氢原子和氧原子之间距离均为d=1.0×10-10m,氢原子和氧原子两条连线间的夹角为

=104.6o。OHHoCdd52.3o52.3o解:yC=0求:水分子的质心。例2求半径为R

的匀质半薄球壳的质心。解:选如图所示的坐标系。在半球壳上取一圆环,其面积为圆环的质量由于球壳关于y轴对称，故xc=0RθO而所以其质心位矢：θRO运载火箭技术反映了当代科技水平的综合技术,但就动力学原理而言，仍是动量和动量守恒定律。火箭在运行时生成的炽热气体高速向后喷射,使火箭主体获得向前的动量。若将任一时刻t

火箭的总质量M分成两部分:系统体内质量移动问题（火箭飞行原理）火箭主体质量Mdm

；将被喷射的物质质量dm。在t+dt

时刻,dm被以相对于火箭的速度u

喷出(称为喷射速度),火箭主体则以v+dv

的速度相对于地面运行。在t

时刻,dm

尚未被喷出,火箭总质量相对于地面的速度为v

,动量为Mv

；z将火箭主体和喷射物质视为一个系统，并忽略作用于系统的外力,即火箭的重力Mg。根据动量守恒定律，在z方向的分量式有z因dm的喷射，火箭总质量M在减少，减少量为dM,故有dm=dM。于是上式变为积分得即火箭主体在其质量从M0变到M时所达到的速度为上式表明,火箭所能达到的速度决定于喷射速度u和质量比(M0/M)的自然对数。化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值为5×103m·s-1,而实际能达到的只是此值的一半左右。提高火箭速度的潜力在于提高质量比(M0/M)和采用多级火箭技术。在(M0/M)中,M0是火箭尚未发射时的质量,包括负载、火箭外壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量,M是负载及外壳等结构的质量。计算表明,要使火箭主体超过第一宇宙速度(7.9kms1)，用以发射人造地球卫星,质量比要高达55左右。实际上，仅靠增加单级火箭的质量比或增大粒子流的喷射速率来提高火箭的飞行速度是不够的。一般采用多级火箭，如三级火箭。设质量比为N,，则第一、二、三级的质量比分别为各级火箭中燃料烧完后,火箭的速率为若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每一级的质量比分别为N1=4,N2=3,N3=2,可得:v3=7.93kms-1。例3有一个三级火箭,第一级火箭脱落前的质量比为N1,第二级火箭刚发动时火箭的质量与第二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为N2,第三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火箭的质量之比为N3。若取N1=N2=N3=7.4；各级火箭的喷射速度都为u=2.5kms-1。不计重力影响,求该火箭最后达到的速度。解根据火箭速度公式,在第一级火箭燃料耗尽时达到的速度为在第二级火箭燃料耗尽时,火箭主体的速度达到了v