第四节曲面及其方程

第四节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念在平面几何中，平面曲线看作平面上动点的几何轨迹.在空间解析几何中，空间曲面可以看成是空间中动点的几何轨迹.水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面的实例：求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.例2.研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面解根据题意有所求方程为例4方程

的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到旋转曲面的方程构成？如何建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程？思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？类似,xoy面上的曲线F(x,y)=0绕x轴旋转所得到的旋转曲面方程为：2）xoy面上的曲线C：绕X轴绕Y轴3）zox面上的曲线C：绕X轴绕Z轴好简单哟求旋转曲面的方程技巧1）yoz面上的曲线C：绕Y轴绕Z轴例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点.例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转旋转单叶双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为旋转双叶双曲面旋转椭球面旋转抛物面三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.

z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l

叫做母线.柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母