弹簧振子模型

动量二弹簧振子模型★如下列图轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B同样的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行。当A滑过距离li时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回到出发点P并停止。滑块A和B与导轨的动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l2,重力加速度为g。求A从P点出发时的初速度电。「★如图8所示，木块B和木块C的质量分别为3/4M和M固定在长为L,劲度系数为k的弹簧的两端，静止于圆滑的水平面上。一质量为1/4M的木块A以速度v水平向右与木块对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。★如下列图，为水平气垫导轨，滑块A、B用轻弹簧相连，今将弹簧压紧后用轻绳系在A、B上，尔后以恒定的速度V0向右运动，已知A、B质量分别为mi、m2,且mi<m2,滑动中轻绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，滑块A的速度恰好为零。求：(1)绳断开到第一次恢复到自然长度过程中弹簧开释的弹性势能EP；(2)在此后运动过程中，滑块B可否会有速度等于零的时辰？试经过定量解析、议论，来证明你的结论。(Ep=mi(mi+m2)vo2/2m2;不行能)ABv0★如下列图，质量为m2和m3的两物体静止在圆滑的水平面上，它们之间有压缩的弹簧，一质量为mi的物体以速度vo向右冲来，为防备触犯，弹簧将m2、m3向右、左弹开,m3与mi碰后即粘合在一起。问m3的速度最少应多大，才能使此后m3和m2不发生碰撞？m1m2m3(mim2m3)★图6所示，在圆滑的水平面上，物体A跟物体B用一根不计质量的弹簧相连，另物体C跟物体B靠在一起，但不与B相连，它们的质量分别为mA=0.2kg,mB=mc=0.1kg.现使劲将C、B和A压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7.2J.尔后，由静止开释三物体.求：(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能.(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A、B的速度.(设弹簧在弹性限度内)解析：(1)在水平方向上因不受外力，故动能守恒.从静止开释到恢复原长时，物体B、C拥有同样的速度VBC,物体A的速度为VA,则有:mAVA+(mB+mc)VBC=0由机械能守恒得:E弹=—mAVA2+—(mB+mC)vBC222解得：VA=6(m/s),VBC=-6m/s(取水平向右为正).此后物体C将与B分开而向左做匀速直线运动.物体A、B在弹簧的弹力作用下做减速簧被拉长，因为A的动量大，故在同样的冲量作用下，B先减速至零尔后向右加速,此时右且大于B的速度，弹簧连续拉伸，直至A、B速度相等，弹簧伸长最大,设此时A、B

运动，弹的速度向的速度为V.由水平方向动量守恒可列式:mAVA+mBVBC=(mA+mB)v由机械能守恒可列式：1mAVA2+—mBVBC2=—(mA+mB)v2+E弹，222食军得:V=2m/s,E弹'=4.8J(2)设弹簧从伸长最大回到原长时A的速度为VI,B的速度为V2,由动量守恒可列式:(mA+mB)V=mAV1+mBV2由机械能守恒又可列式：—(mA+mB)v2+E弹，=—mAv"+—mBV22222解得：VI=-2m/s(v1=6m/s舍去)；V2=10m/s(V2=-6m/s舍去)此时A向左运动，速度大小为2m/s；B向右运动，速度大小为10m/s.答案：(1)4.8J(2)VA=2m/s,VB=10m/s★质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为h,如下列图，一物块从钢板正上方距离为3h的A处自由着落，打在钢板上，并马上与钢板一起向下运动，但其实不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，点时，

它们恰能回到。点，若物块质量为2m,仍从A点处自由着落，则物块与钢板回到o还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与。点的距离。h/2)(★质量为M的小车置于水平面上，小车的上表面由圆滑的1/4圆弧和圆滑平面组成，圆弧半径为R,车的右端固定有一不计质量的弹簧。现有一质量为m的滑块从圆弧最高处无初速下滑，如下列图，与弹簧相接触并压缩弹簧。求：(1)弹簧拥有最大的弹性势能；(2)当滑块与弹簧分别时小车的速度。(mgR；(2m2gR/M(Mm))★在纳米技术中需要搬动或修理原子，一定使在不断地坐热熨斗(速率约几百米每秒)的原子几乎静止下来且能在一个小的空间地域内停留一段时间，为此已发了然“激光制冷”技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光制冷”与下述的模型很近似。一辆质量为m的小车(一侧固定一轻弹簧)，以速度vo水平向右运动，一动量大小为P,质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一准时间t,再清除锁定使小球以大小为2P的动量水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最后小车将停下来。设地面和车厢均为圆滑，除锁准时间t夕卜，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：(1)、小球第一次入射后再弹出时，小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少许；、从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。(1、3voP-9P2/2m;2、ot/3P)(1)如图1,在圆滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联络一个小球组成，两小球质量相等。现忽然给左端小球一个向右的速度V第一次0,求弹簧恢复到自然长度时，每个小球的速度。(2)如图2,将N个这样的振子放在该轨道上，最左侧的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适合地址上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有必然的距离，现清除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，恰好与振子2碰撞,Hl此后，连续发生一系列碰撞，每个振子被碰后恰好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求全部可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。解析：(1)设每个小球质量为m,以u1、u2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度.由动量守恒和能量守恒定律有mu1mu2mu0(以向右为速度正方向)^mu；1mu21mu2解得i°2。或i0,u2u°uu,uu212220因为振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧素来是压缩状态，弹性力使左端小球连续减速，使右端小球连续加速，所以应该取解：u10,u2u0(2)以vi、vi'分别表示振子1清除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，mvi+mvi'=0—mv2—mv2EE°解侍^E0E0E0E02mv2mv^-，v忻或vvvi^-.-，在这一过程中，弹簧素来是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解：乂EMJ旦振子i与振子2碰撞后，因为交换速度，振子i右端小球速?m'.m度变成0,左端小球速度仍为v〔，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度同样时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为vi0,依据动量守恒定律：2mvi0mvi用Ei表示最大弹性势能，由能量守恒有-^mvi20【mv%Ei—mv；2222,i解得Ei-E04★在原子核物理中，研究核子与核子关系的最有效路子是“双电荷交换反应”，这种反应的前半部分过程和下述力学模型近似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在圆滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左侧有一垂直于轨道的固定挡板P,右侧有一小球C沿轨道以速度v°射向B球，如下列图，C与B发生碰撞并马上结成一个整体D,在它们连续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度忽然被锁定，不再改变，尔后A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，忽然清除锁定(锁定及清除锁定均无机械能损失)，已知A、B、C三球的质量均为m。(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。(2)求在A球走开挡板P此后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。■4芝『°七=★质量为m的小球B与质量为2m的小球C之间用一根轻质弹簧连接，现把它们放置在竖直固定的内壁圆滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为X0,如下列图，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量(即伸长量或缩短量)的平方成正比。小球A从小球B的正上方距离为3X0的P处自由落下，落在小球B上马上与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动。已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到。点(设3个小球直径相等，且远小于xo，略小于直圆筒内径)，问小球A最少在B球正上方多少距离处自由落下，与B球粘连后一起运动，可带动小球C离开筒底。解析：设小球

A由初始地址着落至小球

B碰撞前的速度为

vo,由机械能守恒得mg3x0=2mvo2(1)所以vo=6gxo(2)设小球A与小球B碰撞后共同速度为Vi,由动量守恒得mvo=2mvi(3)所以vi=2.6gxo(4)设弹簧初始的弹性势能为EP,则碰撞后回到。点机会械能守恒得2mgxo=22mvi2+Ep(5)1(6)由⑴(3)(5)式可碍E=2mgxoP小球B处于平衡时，有(设k为弹簧的劲度系数)kxo=mg当小球C恰好被拉离筒底时，有kx=2mg(8)由(7)(8)可知，x=2xo(9)依据题中条件可知，小球C恰好被拉离筒底时，弹簧弹性势能E'P=4EP(10)设小球A最少在B球正上方h处高处着落，且与小球B碰撞前速度为v3,由机械能守恒