图形的放大与缩小-位似变换

图形的放大与缩小---位似变换1.前面我们已经学习了图形的哪些变换？平移：平移的方向,平移的距离.旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.相似：相似比.对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形)：对称轴,对称中心.注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.下面请欣赏如下图形的变换请同学们仔细观察下列两幅图有什么共同特点？位位位位图图图图似似似似形形形形CDE下面两副图是相似形吗？认真观察看它们还有什么特征？ABCDEFOMN哇!果真奇特这不过是冰山一角原来是一组景观呀没那么简单哦,它们是相似图形还有更奇特的呢!位似图形

大家好,今天我带你们去探秘相似图形王国最奇特的景观图形的放大与缩小

幻灯机的胶片和屏幕上的画面也形成一种位似关系．

下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？

1、每组图形的形状有什么关系？

2、每组图形的对应点的连线有什么关系？共同发现形状相同——相似图形对应点的连线相交于一点。

如果一组图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。

关键词：对应点的连线相交于一点相似位似图形1、这样的图形叫位似图形1．两图形相似．

同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．

显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.

2．每组对应点所在直线都经过同一点．

3.对应边互相平行或重合.明晰新知位似图形特征：1、位似图形一定是相似形，反之不一定。2、判断位似图形时要注意：首先，它们必须是相似形，其次，每一对对应点所在直线都经过同一点。看一看C’CB’BA’ABAA’EDCE’D’C’B’CABD’C’B’A’D想一想在位似图形中，位似中心位置可能有几种情况呢？

可以在图形内部，也可以在图形外部，还可以在图形的某个顶点上或在图形的某条边上。1.下列图形是否是位似图形？如果是请指出位似中心，如果不是请说明理由。BACEDFEDCBAHG位似的判断培养逆向思维在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图形不是位似图形.分别指出图(1),(3)各自的位似中心;OP(1)(3)(2)灵感智慧BAA’EDCE’D’C’B’做一做1.判断下列各对图形是不是位似图形.(1)相似五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’;(是)(2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’;(是)CABD’C’B’A’D(3)等边三角形ABC与等边三角形A’B’C’.C’CB’BA’A(是)2、如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.做一做四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形.位似中心是:点A位似比是:123、判断下面的正方形是不是位似图形？（1）不是ACDBFEG显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形思考：位似图形有何性质？OABA`C`B`CD`D4、已知:如图在同一平面内△ABC和△

A`B`C`是位似图形,AA`、BB`、CC`的延长线相交于点O，OB交AC，A`C`于点D和D`。试问：①对应边有什么位置关系？②位似中心到对应点的线段比与相似比有什么关系？探究题1、每组图形的对应边有什么关系？AA`BB`CC`DD`1、对应边互相平行或在一条直线上ABDCA`B`D`C`O1.53OA=5,OA`=10OC=3.5,OC`=7OB=6,OB`=12位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.OABA`C`B`CD`D证明：①∵△ABC和△A`B`C`是位似图形OB交AC，A`C`于点D和D`∴△ABC∽△A`B`C`

且D和D`是对应点∴△ABD∽△A`B`D`∴∠ABD=∠A`B`D`∴AB∥A`B`OABA`C`B`CD`D证明：②∵AB∥A`B`∴∠BAO=∠B`A`O，∠ABO=∠A`B`O∴△OAB∽△OA`B`做一做2.位似图形的性质性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

概念与性质C`A`B`BAOC（1）两个位似形一定是相似形；

（2）各对对应顶点所在的直线都经过同一点；（二）位似图形的性质（二）位似图形的性质3、对应边互相平行或在一条直线上4、位似比等于位似图形的相似比。

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫位似比.如何对一个图形进行放大或缩小呢？

四边形ABCD，现要对其放大两倍，该如何操作？ABCDA1B1C1D1如图四边形ABCD，现要对其放大两倍，该如何操作？小结：我们可以先画一个格点图，通过它来辅助画图。但这样做有什么不好的地方呢？能不能再找更为简便的方法呢？看一看，想一想我们在物理上都学过了小孔成像，从中你能得到什么启示呢？ABA’B’O做一做如图，已知△ABC，求作△A’B’C’，使得△ABC的边长缩小到原来的一半.连AO,并延长至A’，使连BO,并延长至B’，使连CO,并延长至C’，使连接三个顶点就可以得到△A’B’C’.你能解释原因吗?A’B‘C‘做一做也可以这样来处理：ABCO1、连OA，在OA上取A’，使连OB，在OB上取B’，使连OC，在OC上取C’，使A’B’C’2、3、

现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．按照下面的方法画图，看看能不能将原来的多边形放大？1．任取一点O；

2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；

3．分别在射线OA、OB、OC、…上取点A’、

B’、C’、…，使：

OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=…=1.5;

4．连接A’B’、B’C’、…，得到所要画的多边形A’B’C’D’E’.画一画

要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图24.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．观察一观察二

实际上，如图18.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．O.ABC.

练习与拓展

1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.OA:OA’

=OB:OB’=OC:OC’=1:2B’A'C’作位似图形，要用尺规作图：1、若指定位似中心，一般可作两个，位于位似中心两侧；2、若不指定位似中心，一般可作无数个。

问：你们能得到的是正立放大的“像”、正立缩小的“像”、倒立缩小的“像”吗？应用ABA`C`B`CO

以任意点O为位似中心，在O点与△ABC的同侧画出边长缩小为原来的一半的△A`B`C`

。1、选取中心点2、连结OA、OB、OC。3、在OA、OB、OC上分别选取A`、B`、C`，使OA`/OA=1/2、OB`/OB=1/2、OC`/OC=1/2。步骤：4、连结A`B`，A`C`，B`C`，得△A`B`C`观看：位似图形的画图题2ABA`C`B`CO

以O为位似中心把△ABC在O点的异侧画出边长缩小为原来的一半的三角形。A`B`C`ABCO观看：位似图形的画图题3

如图：△ABC以任意点O为位似中心，画出正立的边长放大为原来的两倍的三角形。结论：△A`B`C`为所求的三角形1.利用位似可以把一个图形放大或缩小。2、利用位似可以作一个图形正像与倒像.（2）、两个图形在位似中心的异侧得可以得到一个图形的倒像。（1）、两个图形在位似中心的同侧得可以得到一个图形的正像。位似的作用AHGFEDCBOLKAHKFEDCBOLGAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKABDCA/B/D/C/OA/B/D/C/ABDCOABDCA/B/D/C/OABDCA/B/D/C/ABDCA/B/D/C/观察下图中的五个图，回答下列问题：在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？位置不一样，位似中心就不一样.典例解析如图，D，E分别AB，AC上的点.（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和∆ABC是位似图形吗？为什么？ABCDE解：（1）∆ADE和∆ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B，∠AED＝∠C.所以∆ADE∽∆ABC.又因为点A是∆ADE和∆ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以∆ADE和∆ABC是位似图形.典例解析如图，D，E分别AB，AC上的点.（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和∆ABC是位似图形吗？为什么？ABCDE（2）如果∆ADE和∆ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？解：（2）DE∥BC.理由是：∆ADE和∆ABC是位似图形，∆ADE∽∆ABC∠ADE＝∠BDE∥BC.画位似图形的步骤步骤：（1）确定位似中心点；

（2）将图形各顶点与位似中心连接（或延长）；

（3）按位似比进行取点；

（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形.注意：

（1）位似中心可以是任意一点，这个点可以在多边形的内部或外部或在多边形上，但具体问题一般要考虑画图方便且符合要求；（2）一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一；（3）将一个图形放大或缩小而保持形状不变.想一想利用作位似图形的方法，你能将下面的三角形缩小，使缩小后的三角形与原三角形对应线段的比为1：2吗？与同伴进行交流.O.ABCA'C’B’.将三角形ABC放大一倍。实践O.ABA'C’B’CACBOOAA’BCB’C’以0为中心把△ABC缩小为原来的一半。ABA’C’B’CO以0为中心把△ABC缩小为