【创新方案】高考数学 第七章第六节 空间向量及其运算 A

答案：A答案：B解析：由向量加法知①正确；当a∥b时，a与b所在直线平行或重合，故②是错误的；很明显③是正确的；根据向量与平面平行的定义知，④是错误的．答案：

B4．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)的值为________．解析：2a＋3b＝2(4，－2，－4)＋3(6，－3,2)＝(26，－13，－2)，同理a－2b＝(－8,4，－8)，∴(2a＋3b)·(a－2b)＝－8×26＋4×(－13)＋(－2)×(－8)＝－244.答案：－244答案：120°1．空间向量的概念名称定义空间向量在空间中，具有

和

的量叫做空间向量，其大小叫做向量的

或单位向量长度或模为

的向量零向量

的向量相等向量方向

且模

的向量大小方向长度模1模为0相同相等名称定义相反向量

相反且

相等的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线

或

，则称这些向量叫做共线向量或

，a平行于b记作

共面向量平行于同一

的向量叫做共面向量方向模互相平行重合平行向量平面a∥b2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得

.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使

.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得

.其中，{a，b，c}叫做空间的一个

．a＝λbp＝xa＋yb基底p＝xa＋yb＋zc3．线性运算的运算律(1)加法交换律：a＋b＝

；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝

；(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝

；(4)向量对实数加法的分配律：a(λ＋μ)＝

.(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝

.b＋aa＋(b＋c)λa＋λbλa＋μa(λμ)a4．空间向量的数量积及运算律5．空间向量的坐标运算(1)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．考点一空间向量的线性运算已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．用向量法证明：E、F、G、H四点共面．考点二空间中的共线、共面的确定及应用

答案：④考点三空间向量的数量积的应用如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．空间向量的概念、数量积及运算性质是高考的重点，多以选择、填空题的形式考查，内容常与空间向量基本定理，数量积的运算以及垂直、共线、夹角、模长等有关．[考题印证]

(2010·广东高考)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.[规范解答]∵c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.[答案]

21．用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．答案：A答案：C3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则(

)A．p＝3，q＝2B．p＝2，q＝3C．p＝－3，q＝－2D．p＝－2，q＝－3答案：A4．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×4×cos120°＝－8，∴b·(2