初中数学北师大版九年级下册第三章圆

专训巧求与圆有关的面积问题名师点金：求解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．根据图形特点，灵活运用这些方法解题，往往会起到事半功倍的效果．利用“作差法”求面积1．如图，在⊙O中，半径OA＝6cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．(第1题)利用“等积变形法”求面积2．如图，E是半径为2cm的⊙O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝eq\f(1,2)CD，求阴影部分的面积．【导学号：31782104】(第2题)利用“平移法”求面积3．如图是两个半圆，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第3题)利用“割补法”求面积4．如图，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.(1)求证：AC＝BD；(2)若OA＝2cm，OC＝1cm，求图中阴影部分的面积．(第4题)答案专训1．解：过点C作CD⊥AO，交AO的延长线于点D.∵OB＝6cm，C为OB的中点，∴OC＝3cm.∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝30°.∴在Rt△CDO中，OD＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(3,2)cm.∴CD＝eq\r(OC2－OD2)＝eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(3),2)(cm)．∴S△AOC＝eq\f(1,2)AO·CD＝eq\f(1,2)×6×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),2)(cm2)．又∵S扇形OAB＝eq\f(120π·62,360)＝12π(cm2)，∴S阴影＝S扇形OAB－S△AOC＝12π－eq\f(9\r(3),2)＝eq\f(24π－9\r(3),2)(cm2)，即阴影部分的面积为eq\f(24π－9\r(3),2)cm2.点拨：本题中阴影部分虽然不是规则图形，但它的面积可以转化为两个规则图形的面积差，因此我们只需分别求出一个扇形面积和一个三角形面积即可达到目的．2．解：连接OA，OB.∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB.∴S阴影＝S扇形OAB.∵AB＝eq\f(1,2)CD＝AO＝OB＝2cm，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.∴S扇形OAB＝eq\f(60π·22,360)＝eq\f(2,3)π(cm2)，即阴影部分的面积为eq\f(2,3)πcm2.点拨：本题利用△AEB的面积等于△AOB的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等积变形法”的运用．(第3题)3．解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝9.∴阴影部分的面积＝eq\f(1,2)π·OA2－eq\f(1,2)π·OE2＝eq\f(1,2)π(OA2－OE2)＝eq\f(1,2)π·AE2＝eq\f(1,2)π·92＝eq\f(81,2)π.点拨：观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．4．(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.(2)解：由(1)知△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积－扇形OCD的面积．则S阴影＝eq\f(90π·OA2,360)－eq\f(90π·OC2,360)＝eq\f(90π（OA2－