第四章被控过程数学模型2

4.2.3多容过程的解析法建模

在过程控制中，由多个容积组成的被控过程称为多容过程。1.有自衡

（1）无时延【例4－4】图4-5所示为一分离式双容液位槽，设Q1为过程输入量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道（长度为L）所造成的时间延迟，试求h2与Q1之间的数学关系。

①自衡单容过程阶跃响应曲线②

双容过程阶跃响应图4-5分离式双容液位过程解：根据动态物料或能量平衡关系，可列出下列增量化方程：式中：Q1、Q2、Q3为流过阀1、阀2、阀3的流量；h1、h2为槽1、槽2的液位；C1、C2为槽1、槽2的液容系数；R2、R3为阀2、阀3的液阻。T1:槽1的过程时间常数，T1=R2C1;T2:槽2的过程时间常数,T2=R3C2分析：在图4-5b示出了该过程的阶跃响应曲线。由图可见，与自衡单容过程的阶跃响应(曲线①)相比，双容过程的阶跃响应(曲线②)从一开始就变化较慢。这是因为在两个槽之间存在液体流通阻力，延缓了被控量的变化。显然，如果依次相接的容器越多，过程容量越大，这种时间延缓就会越长。1）双容也可用单容过程近似，方法为：通过h2响应曲线的拐点作切线，与时间轴交于A，与h2的稳态平衡值h2()相交于c，c点在时间轴上的投影为B。这样，双容过程就可以用有时延的单容过程来近似。时间轴上的0A段即为纯时延时间0，AB段为过程的时间常数T0。于是，近似传递函数可写为:2)如果过程为n个容器依次相接、不难推出多容过程(n个)的传递函数为:式中，K0为过程的总放大系数；T1…Tn为各个单容过程的时间常数。若各个容器的容量系数相同，各阀门的液阻也相同，则有T1=T2=…Tn=T0，于是多容过程的近似也可按上述双容近似单容的办法进行。多容过程对象数学模型n容对象的是n阶系统；对象的容量越大、阶数越多，容量时延τc也越大。（2）有时延图4－5中，若设槽1与槽2之间管道长度形成的时间延迟为τ1，则传递函数为：2.无自衡

【例4－5】

若将阀3改为定量泵，使得过程的输出流量与液位高低无关，则【例4－6】图4－6为一并联式双容液位槽。与图4－5相比，Q2的大小不仅与液位h1有关，而且与后接液位槽的h2也有关，设图中各个变量及参数与例4－4相同，试求h2与Q1之间的数学描述。图4-6并联式双容液位过程解：根据动态物料平衡关系，可得如下增量化方程设阀2、阀3的液阻分别为R2、R3，可近似认为：Q3与R3成反比，与h2成正比，Q2则与R2成反比，与h1-h2成正比。故有相应传函为：T1=R2C1,T2=R3C2,T12=R3C1K0=R3

由图可见，对前者而言，前一过程会影响后一过程，后一过程不会影响前一过程。对后者而言，前一过程影响后一过程，后一过程也影响前一过程。两过程互为关联。图4-7双容液位过程框图讨论：过程特性参数K、T、τ数学模型的过程特性参数K，T，τ？三个参数有什么样的物理意义？在系统中所起的作用如何？Ｋ的物理意义是稳定后系统输出的变化量为输入变化量的Ｋ倍。在实际系统中，要注意放大倍数的量纲。Ｋ

越大，表明该输入信号通过对应通道对输出的作用越强。若有2个输入变量作用于被控变量，则有两个通道，对应2个放大倍数。T

是标志输出对于输入变化响应快慢的参数，越小响应越快。T

的量纲是对应流量的单位时间量纲。不同通道，T

是不同的。T

大，则系统响应平稳，系统较稳定，但调节时间长。时间常数T当时，当时，当时，

对于一阶惯性环节迟延时间τ滞后分为容量迟延和传输迟延。传输迟延τ0

由于物料的传输需要一定时间而产生的滞后。

q22hFτ0q1q1‘Rl容量迟延τc

由于系统中物料或能量的传递需要克服一定的阻力而产生的迟延。

实际控制系统中，迟延时间τ还表现为检测仪表信号传输迟延，执行仪表控制输出迟延等形式；迟延时间的量纲应该与时间常数T一致。迟延时间τ对控制是不利的。

4.3实验法建立过程的数学模型试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。问题的提出：大多数工业过程的机理模型是很难建立的，只有采用实验建模。试验辨识方法最常用的有三种：

响应曲线法、相关统计法以及最小二乘法。响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输入－输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法

4.3.1.1阶跃响应曲线法1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态一试验注意事项2）在相同条件下应重复多做几次试验，减少随机干扰的影响3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，将两次实验结果进行比较，以衡量过程的非线性程度4.3.1响应曲线法4）完成一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间，再做第二次试验5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。一般取正常输入信号最大幅值的10％。在进行阶跃响应试验后,根据试验结果先假定数学模型的结构,再确定具体参数。缺点:

实验时往往会对正常生产造成影响。2.模型结构的确定对于大多数过程来说，数学模型常常可近似看作一阶、二阶及其时延结构，即对于某些无自衡过程，常可近似看作此外，还可用更高阶或其他较复杂的形式近似。但是，复杂的数学模型意味着复杂的控制，同时也使估计模型参数数目增多，增加辨识的难度。因此，在保证辨识精度的前提下，数学模型结构应力求简单。3.模型参数的确定（1）由阶跃响应确定一阶环节参数若过程的阶跃响应曲线如图4-11所示，t=0时的曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升到稳态值y()时斜率为零、则该响应曲线可用无时延一阶环节来近似。

图4-11一阶无时延阶跃响应对上式所示的一阶无时延环节，需要确定的参数只有K0和T0，其确定方法通常有直角坐标图解法和半对数坐标图解法。1)直角坐标图解法设阶跃输入变化量为x0，可求得一阶无时延环节的阶跃响应为

(4-53)式中，K0为过程的放大系数，T0为时间常数。需要说明的是，由于实验一般是在过程正常工作下进行的，只是在原来输入的基础上叠加了x0的阶跃变化量，所以式(4－53)所表示的输出表达式是对应原来输出值基础上的增量表达式。因此，用输出测量数据作阶跃响应曲线，应减去原来的正常输出值。也就是说，图4－11所示阶跃响应曲线，是以原来的稳态工作点为坐标原点的增量变化曲线。以后不加特别说明，均是指这种情况。另外,,以此斜率作切线，切线方程为，当t=T0时，有T0求法：Ⅰ作图法：先由图4－11定出y(∞),确定k0数值，再在曲线的起点t=0处作切线，该切线与y(∞)的交点所对应的时间(图上OB段)即为T0。K0求法：Ⅱ计算法：根据测试数据直接计算求得。因为取则图4-11一阶无时延阶跃响应则在曲线上找得上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3则不难计算出T0。若求取的T0值有差异，可用求平均值的方法对T0加以修正

2)半对数坐标图解法

直角坐标图解法求取T0，是依靠在t=0处作阶跃响应曲线的切线来进行的。缺点:1)阶跃响应在起始阶段数值较小，切线方向不易确定，因而误差较大。

2)较难判定有时延还是无时延。在这种情况下，可采用半对数坐标图解法求解。半对数坐标图解法求解K0仍同上述，只是求取T0的方法不同。根据式(4－53)，可有上式两边取自然对数，可得上式说明：若以ln[y(∞)-y(t)]为纵坐标变量，t为横坐标变量，该式表示一条直线。但需在半对数坐标纸上进行作图。Lg[y(∞)-y(t)]图4-12半对数坐标图解法求T0通常半对数坐标纸的坐标轴是以常用对数（以10为底）值刻度的。上式需换算。由于所以根据试验测试或从阶跃响应曲线上读得的数据，在半对数坐标纸上作图，所做曲线若是一条直线，该直线假定与横坐标轴交于B点，与纵坐标轴交于A点，则有优点:

可以很方便地判定所辨识的过程究竟是不是一阶无时延环节。若是，则其阶跃响应必是一条直线。若不是一条直线，则在t较大时接近一条直线，在t较小时各点偏离这条直线，可能是二阶及二阶以上或有时延的过程特性。若多数点远离直线，分布也无规则，这说明测试数据受干扰影响，应进一步采取措施抑制干扰影响，提高测试精度，重新进行试验测试。当曲线形状为开始上升最快，最后达到平衡模型结构选择：一阶惯性环节参数辨识方法：计算法：放大倍数：K=[y(∞)-y(0)]/x0时间常数：半对数图解法：（2）由阶跃响应确定一阶时延环节参数

过程响应曲线在t=0时斜率几乎为零，之后斜率逐渐增大，到达某点（称为拐点）后斜率又逐渐减小，如图4－13所示，曲线呈现s形状。该过程可用一阶惯性加时延环节来近似。传递函数为需确定三个参数：k0、T0、

求K0方法同上。求T0、如下所述：Ⅰ作图法：在阶跃响应曲线斜率最大处（即拐点D处）作一条切线，该切线与时间轴交于C点，与y(t)的稳态值y(∞)交于A点，A点在时间轴上的投影为B点。则CB段为T0大小，OC段为的大小。缺点：D点选择主观随意性大，造成参数准确性差。此方法可能误差较大，可采用如下计算方法求取。

当阶跃响应曲线上的拐点不易确定时，可直接取阶跃响应曲线稳态值的28％和63％所对应的时间t1和t2，再按下式计算滞后时间和时间常数T0。Ⅱ计算法：先将阶跃响应y(t)转换为标幺值y0(t)，即则相应的阶跃响应表达式为在图中选取不同的两个时间点t1<t2，分别对应y0(t1)和y0(t2)。图4-14阶跃响应曲线则两边取自然对数，有联立求解可得：说明：

为了使求得的T0和更精确，可在图4－17的曲线上多选几个点，例如选四个点。并将每两个点分为一组，分别按照上述方法求取各自的T0和值。对所求得的T0和再分别取平均值作为最后的T0和。如果不同组所求得的T0或值相差较大，则说明用一阶环节结构来近似不太合适，则可选用二阶结构近似。二阶无时延传递函数：3由阶跃响应曲线确定二阶环节参数需确定参数：K0、T1、T2确定T1、T2一般采用两点法。二阶无时延环节的阶跃响应为式中，x0为阶跃输入的幅值，可以利用阶跃响应上两个点的数据(t1,y(t1))和(t2,y(t2))确定T1和T2。假定取y(t)分别为0.4y(∞)和0.8y(∞)(y(∞)=k0x0)，可从图4－15上定出相应的t1和t2，由此可得联立方程该式的近似解为：采用上式确定T1和T2时，应满足的条件。表4-3高阶过程的n与t1/t2的关系若，为二阶环节（此时）若，则用高于二阶的环节来近似。设n阶环节的传递函数T0的确定可按下式近似求出式中的n可根据比值t1/t2的大小由下表查得。若，应为一阶环节n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75例：解：1、以一阶惯性延迟环节为模型结构：K=0.193m/单位阶跃=0.193m/单位输入；取y*(t1)=0.39，y*(t2)=0.63，从曲线上得到：t1=127.91s,t2=193.53s2、以二阶以上惯性环节为模型利用两点法估计二阶惯性环节，K=0.193m/单位输入。取y*(t1)=0.40，y*(t2)=0.80，得到：

t1=130.31s,t2=277.93s，算得：t1/t2≈0.46

T1=T2=95

两种数学模型响应曲线比较一阶模型二阶模型实际曲线4二阶时延环节参数的确定纯滞后：

由于物料或能量需要经过一个传输过程而形成的，如皮带运输。容量滞后：

由于对象中包含多个容积所引起的，如化学反应器。二阶时延环节的传递函数为：需确定的参数为：T1、T2、K0、在图4－18所示的阶跃响应曲线上，通过拐点F作切线，得纯时延可以证得与有如下关系式中的，同时应有T1+T2=Tc。求解上式（在T1+T2=Tc约束下）即可得T1和T2。K0的求法同上，而=0+c5无自衡过程的参数确定方法图4-19无自衡过程阶跃响应数学模型：无自衡过程的阶跃响应随时间将无限增大，但其变化速度会逐渐趋于恒定。去掉纯滞后部分，则在输入为阶跃变化x(t)=x0*1(t)情况下，输出变化速度将是一个常数x0/T0所以在图4－19所示阶跃响应的变化速度最大处作切线，该切线斜率若测得为tanα，则有。由此，参数T0即可近似取得。至于迟后时间，可用图上切线与时间轴的交点来近似取代。图4-19无自衡过程阶跃响应（4）确定二阶时延环节的参数二阶时延环节阶跃响应曲线如右图：传递函数为：需确定参数4个在阶跃响应曲线上，通过拐点F作切线得纯滞后时间，容量滞后时间以及、的确定与前面所讲的相同，而总的纯滞后时间可以证明：与的关系为其中在的约束条件下，可以解得和这个方程为超越方程，求解比较复杂，通常采用图解法自学图解法4.3.1.2方波响应曲线法方波响应曲线法是在正常输入的基础上，施加一方波输入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。通常在实验获取方波响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然后再按阶跃响应法确定有关参数。如图所示、输出响应由两个时间相差t0、极性相反、形状完全相同的阶跃响应的叠加而成。

所需的阶跃响应为t=0～t0阶跃响应曲线与方波响应曲线重合t=0～2t0时，依次类推，即可由方波响应曲线求出完整的阶跃响应曲线4.3.2最小二乘法4.3.2.1离散化模型与输入试验信号1．离散化模型（1）离散时域模型如果对被控过程的输入信号u(t)，输出信号y(t)进行采样，采样周期为T则相应得到差分方程为（2）离散频域模型离散频域模型可用脉冲传递函数表示。对输出离散序列进行Z变换其中：2．输入试验信号（1）输入试验信号的条件与要求为了使被控过程是可辨识的，输入试验信号必须满足如下条件:1）在辨识时间内被控过程的模态必须被输入试验信号持续激励。2）输入试验信号的选择应能使辨识模型的精度最高；从工程的角度，输入试验信号的选取还要考虑如下一些要求：3）工程上易于实现，成本低。1）输入试验信号的功率或幅值不宜过大，也不能太小；2）输入试验信号对过程的“净扰动”要小；（2）输入试验信号的选取白色噪声作为输入试验信号可以保证获得较好的辨识效果，但白色噪声在工程上不易实现研究表明，最长线性移位寄存器序列（简称M序列）具有近似白色噪声的性能3．M序列的产生M序列的产生通常有两种方法，一是用移位寄存器产生，二是用软件实现