第3章概率论基础

第3章概率论基础胡良剑东华大学理学院Ljhu@第2学院楼543内容提要3.2样本空间和事件3.3文图和事件的代数表示3.4概率论公理3.5等可能样本空间3.6条件概率3.7贝叶斯公式3.8独立性3.2样本空间和事件样本空间：一个随机试验所有可能结果的集合被称为该试验的样本空间，用S来表示。随机事件：样本空间的任一子集E被称作事件。也就是说，事件是由实验部分可能结果构成的一个集合。如果实验结果包含在E中，我们就说事件E发生了。基本事件：S的每个元素（或单点集）。3.2样本空间和事件例3.2.2(修改)如果实验是由确定编号1,2,3,4的四匹马的比赛结果构成，那么样本空间S包含了(1,2,3,4)的所有全排列.即S={1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321}E={3号马赢}={3124,3142,3214,3241,3412,3421}是一个随机事件。F={3124}是一个基本事件，也是一个随机事件。3.2样本空间和事件事件的并EF：事件E或事件F发生。事件的交EF或EF：事件E和事件F都发生。事件的补Ｅc：事件E不发生。事件的包含EF：若E发生，则F必发生。性质：交换律结合律分配率3.3文(Venn)图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示德·摩根律3.4概率论公理定义：集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下列三条公理

对于任何的互不相交(又称互斥)事件序列(也就是说,)3.4概率论公理命题3.4.1证明：用概率的定义。命题3.4.2证法一：用文图；证法二：用概率的定义。3.4概率论公理例3.4.1总共有28%的美国男性吸卷烟，7%抽雪茄，两者都吸的有5%。请问既不吸卷烟也不抽雪茄的男性比例是多少？解：3.4概率论公理例：P54习题9习题P53ex2,ex12,ex133.5等可能样本空间等可能概型：样本空间中的每一个基本事件发生的可能性相同。等可能概型的概率（古典概率）公式：其中N(E)表示事件E中的点（基本事件）数，N(S)表示所有可能的基本事件数。3.5等可能样本空间分类加法计数原理：完成一件事有几类办法（各类办法不相交），每类办法中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同办法中方法数的总和。例：网上预订行程，从郑州到上海乘火车有7种不同选择，乘飞机有5种不同选择，从郑州(乘火车或乘飞机)到上海共有7+5=12种不同的行程选择。3.5等可能样本空间分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法数的乘积。例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不同行程选择，从上海到香港共有4种不同的行程选择，那么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的行程选择。3.5等可能样本空间例3.5.1一个碗里有6个白球，5个黑球。现在随机从碗里拿出两个球，则一个是白球一个是黑球的概率有多大？两个黑球呢？解：3.5等可能样本空间排列：从n个不同元素中取r个(不重复)，考虑先后顺序共有n(n-1)….(n-r+1)种不同结果。全排列：n个不同元素排成一列，共有n!=n(n-1)….21种不同结果。重复排列：从n个不同元素中取r个(可重复)，考虑先后顺序共有nr=n

n

….

n种不同结果。3.5等可能样本空间例3.5.2琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本语言书。(1)琼斯想把同一种类的书放在一起，共有几种不同的可能结果？(2)如果是随意放置，恰好同一种类的书放在一起的概率多大？3.5等可能样本空间组合：从n个不同元素中取r个，不考虑先后顺序共有种不同情况。或者说，从n个元素中选择r个组成一组，共有不同的组合数3.5等可能样本空间例3.5.4要从6个男性9个女性中选择5人组成委员会。如果随机选取，那么委员会中有3个男性2个女性的概率是多大？解：3.5等可能样本空间例3.5.7如果一个房间里有n个人，没有两个人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？解：当n23,P<0.5.注：P(50)=0.03,P(60)=0.006.习题P55ex18,ex203.6条件概率引例：（1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之和为8概率多大？（2）如果已知第一个骰子点数为3，那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？3.6条件概率引例：(1)样本空间:点数之和为8:概率(2)缩减的样本空间:点数之和为8（缩减的事件）:条件概率注意：3.6条件概率定义：当P(F)>0,F发生的条件下E发生的条件概率为3.6条件概率例3.6.2琼斯工作的机构正在筹备一场亲子(父子)晚宴，参与者是至少有一个儿子的雇员。每一个满足条件的雇员都被邀请携他们年龄最小的儿子参加晚宴。琼斯有两个孩子，在琼斯被邀参加晚宴的前提下，他的两个孩子都是男孩的条件概率是多少？3.6条件概率乘法公式：例3.6.3佩雷斯女士所在的公司有30%的可能在凤凰城设立分公司。如果这个分公司设立，那么她有60%的把握成为这个新公司的经理。那么佩雷斯女士将会成为凤凰城新公司经理的概率为多少？3.7贝叶斯(Bayes)公式全概率公式：如果直接计算事件E的概率较困难，可以间接利用条件事件F:分别在事件F发生或不发生两种条件下计算条件概率，然后再加权平均。3.7贝叶斯(Bayes)公式Bayes公式(逆概率公式)：注意区分：求结果发生的(无条件)概率,用全概率公式；已知结果，求原因的条件概率，用Bayes公式。3.7贝叶斯(Bayes)公式例3.7.1一个保险公司把投保的人群分为了两类——事故敏感型和非事故敏感型。保险公司的数据显示事故敏感型人群一年内发生事故的概率为0.4，而这个数据对于非事故敏感型人群减少至0.2。假设30%的人群为事故敏感型人群，那么一个新的投保人在购买保险的这一年中发生事故的概率是多少？例3.7.2（续上例）假设新的投保人在投保的这一年中已经发生过了一次事故,那么这个人属于事故敏感型人群的概率是多少？3.7贝叶斯(Bayes)公式投保人敏感型(F)非敏感型(Fc)0.30.7发生事故(E)0.40.2全概率公式P(E)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26Bayes公式P(F|E)=P(EF)/P(E)=0.3×0.4/0.26=0.46153.7贝叶斯(Bayes)公式例3.7.4一个实验室提出了一种99%有效的血液测试来检测某种疾病。但是，对健康人来说这个测试也有1%的可能会产生``假阳性”.如果人群中有0.5%患病，则在一个人的测试结果是阳性的条件下他患病的概率是多大？如果这个测试是在的高危人群（50%患病）中测试的呢？3.7贝叶斯(Bayes)公式例3.7.5在某一个犯罪调查的阶段，当值的调查员60%确信嫌疑犯有罪。假设现在一个新的显示罪犯有某个特征(例如，左撇子，秃头，棕色头发等)的证据未被揭露。如果20%的人群拥有这个特征，若这个嫌疑人属于拥有这个特征的人群，调查员现在应如何对待这个犯罪嫌疑人(有多大把握确信嫌疑犯有罪)?3.7贝叶斯(Bayes)公式推广的全概率公式：假设F1，F2，…，Fn是互斥(不相交)的事件，且那么推广的Bayes公式：3.7贝叶斯(Bayes)公式例3.7.7一架飞机失踪了，据推测，他有相同的概率着落在三个可能的地点。令1-i表示飞机着落在第i个地区条件下在第i个地区被找到的概率，i=1,2,3。已知对地区1的搜寻是失败的，飞机落在地区1的概率是多少？习题P56ex25,ex29,ex31,ex33,ex353.8独立事件定义：若则称E与F相互独立。性质1：若P(E)>0,P(F)>0,有性质2：如果E与F独立，则E与Fc也独立，进而Ec与F也独立,Ec与Fc也独立。3.8独立事件例3.8.1一张卡片是随机从一副52张的扑克牌中选取的。如果事件A表示抽出来的牌是A，事件H表示是抽出来的牌是红桃，那么A和H是独立的.因为P(AH)=1/52，而P(A)=4/52，P(H)=13/52。所以P(AH)=P(A)P(H)。3.8独立事件定义(三个事件的独立性)称三个事件E,F,G相互独立，如果定义(n个事件的独立性)称事件E1，E2,…，En独立，若对{1,2,…,n}的任意子集{1’,2’,…r’},3.8独立事件例3.8.8抛掷两颗均匀骰子。让E7表示事件：骰子的总和是7。用F表示第一颗骰子等于4，用T表示第二颗骰子等于3。可以证明：E7，F，T两两独立但三者不独立。因为：P(E7)=6/36,P(F)=1/6,P(T)=1/6,P(E7F)=1/36,P(E7T)=1/36,P(FT)=1/36,P(E7FT)=1/36。这样P(E7F)=P(E7)P(F),P(