第一章振动与波动

§4.1

简谐振动

简谐振动的定义：某量在平衡位置附近随时间做等频、等幅的往复变化。表达式：力学：现象：

其解为

简谐振动方程简谐振动的普遍定义任何物理量x的变化规律若满足方程：且是决定于系统

本身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动.重要公式

简谐振动的位移函数曲线x

0t加速度

速度利用速度和加速度的定义,可得

简谐振动的位移、速度和加速度的函数曲线

x0tVa4.1.2

描述简谐振动的特征量1.振幅

(amplitude)

A

振动物体离开平衡位置的最大幅度.单位：m2.周期

(period)T振动物体完成一次振动所需要的时间.单位：

s角频率(angularfrequency)（圆频率）ω振动物体在2π秒内完成振动的次数.单位rad/sT、υ、ω之间的关系：频率

(frequency)υ振动物体在1s时间内完成振动的次数.单位Hz3.相位(phase)决定振动物体运动状态的物理量.单位rad初相位(initialphase)

决定振动物体初始时刻运动状态的物理量.单位rad设有两个简谐振动：两个简谐振动步调的比较两者的相位差为：当时,两个振动的步调完全一致

x

t

12同相当时,两个振动的步调正好相反

xt

1

2反相当时,振动2总比振动1先到达某一状态x

t21振动2超前振动1,也称振动1落后振动2思考题：两物体作简谐振动,振动频率高者,物体的运动速度也大.这种说法对么？不对。因为振动频率是表示物体的振动快慢程度，即单位时间内振动的次数。运动速度是表示单位时间内物体位置改变的快慢程度。对简谐振动的物体4.1.3

初始条件

时由此得

应用初始条件确定初相位，例如

矢量的长度代表振幅矢量逆时针旋转的角速度代表角频率

矢量在初始时刻与x轴的夹角代表初相位矢量在任一时刻与x轴的夹角代表相位t=ttwt=0x4.1.5

简谐振动的能量总能量=振子的动能+弹簧的势能设振子质量为m,在任意时刻t的位移为x,速度为v

在振动过程中,系统的动能和势能都是随时间而变化,在振动过程中两者不断相互转化,但总能量保持不变.§4.2简谐振动的叠加4.2.1同方向、同频率的两个简谐振动的合成kmk已知两个同方向、同频率的简谐振动方程为：x1mx2AA1A2j1x1

wx2j

2

wx2PjMwxxO用旋转矢量法求得合成结果讨论特殊情况:则合振幅最大.则合振幅最小.合振动的加强与减弱§4.5

波动方程(1)振动是波动的基础；(2)波动是振动的传播；(3)波形传播只是现象；(4)振动传播才是实质；(5)能量传播是度量。波动和振动的关系：4.5.2横波和纵波

根据质点振动的方向与波传播的方向之间的关系可分为：横波、纵波.

纵波可以在固体、气体、液体三种介质中传播.

横波一般只在固体中传播.波面－－波在传播过程中,所有振动相位相同的点连成的面叫波面.波线－－从波源沿各传播方向所画的带箭头的线.波线波面球面波波线波面平面波4.5.3波的传播速度、周期、频率和波长波速（wavespeed）u单位时间内振动状态传播的距离.单位m/s波速是由介质的性质决定的.波速的大小与介质有关波速的大小与温度有关空气中声速周期（period）T

一个完整的波通过波线上某点所需要的时间.单位s波长（wavelength）λ

在同一波线上两个相邻的、振动状态完全相同的质点间的距离.

单位m频率（frequency）单位时间内,通过波线上某点的完整波的数目.单位：Hzu、λ、

T、之间的关系设原点O

处的质点的振动方程为P点落后O点x/uyxuoPx

上式为以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程.

其它形式的平面简谐波的波动方程为称为波数重要公式波动方程的物理意义令

x=x11.x为定值令x=x1yt表示给定位置点的振动曲线o2.t为定值令t=t1令§4.6波的能量能流密度设波动方程为体元的动能体积为的体元在介质中取质量为则体元振动速度4.6.1波的能量体元的原长为波传到时体元的形变体元的应变为应变为由得体元的形变势能为总能量

波动在传播振动的同时也把能量传播出去.思考题：从能量的观点看，谐振子系统与传播介质中的体积元有何不同？孤立的谐振子势能最大时动能为零，势能为零时动能最大，势能与动能相互转化，但总的机械能守恒，这表明它存储着一定的能量。介质中的体积元势能最大时动能也最大，势能为零时动能也为零，总机械能不守恒，它在零到最大值之间周期性的变化，不断地将来自波源的能量沿波的传播方向传出去，弹性介质本身不存储能量，它只起到传播能量的作用。能量密度---介质中单位体积中的波动能量平均能量密度

4.6.2波的能流密度能流---单位时间内通过介质中某面积的能量,称为通过该面积的能流.平均能流能流密度（波的强度）

单位时间通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流.定义单位

W/m2重要公式4.6.3波的强度与距离的关系1.平面波sus12单位时间内通过两个面的平均能量分别为若则有2.球面波r1r2S1I1S2I2

设距波源单位距离处质点的振幅为A0,则球面简谐波的波动方程应为4.7.1波的叠加原理

两列或两列以上的波可以互不影响的同时通过某一区域;在相遇区域内共同在某质点引起的振动,是各列波单独在该质点所引起的振动的合成.这一规律称为波的叠加原理.4.7.2波的干涉(interferenceofwave)r1r2s1s2PS1：S2：两列波在P点引起的振动分别为

P点合振动合振幅表达式r1r2Ps1s2合振动的初相位为相位差为讨论两种特殊情况：1.

时

振动加强干涉加强干涉相长2.

时

振动减弱干涉减弱干涉相消相干条件：1.两列波具有相同的振动方向2.两列波具有相同的频率3.相位差恒定总结1.简谐振动方程

速度加速度相位与初相位初始条件一.简谐振动2.简谐振动的旋转矢量表示法4.简谐振动的叠加同方向、同频率的两个简谐振动的合成3.简谐振动的能量

合振幅最小，振动减弱合振幅最大，振动加强二.平面简谐波1.波动方程2.波的能量3.能流密度4.波的强度与距离的关系球面波5.波的干涉1）