第11章梁和结构的位移

第十一章梁和结构的位移11-1概述11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分11-3叠加法11-4单位荷载法11-5图乘法11-6线弹性体的互等定理11-7结构的刚度校核11-1概述1．研究的对象：微小、弹性变形情况下，静定梁和静定结构的位移计算。2．计算位移的目的：（1）刚度验算——变形符合使用要求（2）超静定结构内力分析——变形条件“鸟巢”-国家体育场整个卸载工作将拆除鸟巢钢结构的78个临时支撑钢柱，钢结构在独立承担重力后将出现不同程度的下沉，最大下沉距离不超过30厘米。根据设计要求，外圈的下降总量将控制在67—70毫米，中圈161—178毫米，内圈208—286毫米。3．位移——结构杆件横载面的位置发生的移动（1）挠曲线——梁的变形曲线称为挠曲线。（2）挠度——梁横截面沿与梁轴线垂直方向的线位移称为梁的挠度。（3）转角——截面绕中性轴转过一角度，称为该点处横截面的转角。它等于挠曲线上这点处的斜率。如图所示梁变形后的曲线称为挠曲线，其曲线方程称为挠曲线方程。另截面挠度为截面位置的单值连续函数，且在小变形情况下，截面转角：小变形即挠曲线上任意点的斜率为该点处横截面的转角。4．求位移两种方法（1）挠曲线方程：确定梁的位移方便。（2）单位荷载法及图乘法：确定结构的位移方便，不但适用于荷载产生的位移，而且可求支座移动、温度变化所引起的位移。11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲梁

剪切弯曲，当梁的高跨比较小（h/l<1/5）而成为细长梁时，剪力对变形的影响比较小，上述公式仍然实用。但是ρ、M不再是常量

从高等数学中知曲率公式：在小变形时，w(x)极其平坦，1+(dw/dx)21，所以上式可以简化为

正负号fxM>0fxM<0对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：PABCPD例1

求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分解：PLxf应用位移边界条件求积分常数xfPL写出挠曲线方程并画出曲线端点处：最大挠度及最大转角例2简支梁挠曲线解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分qABLx应用位移边界条件求积分常数写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角qABLx11-3叠加法一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。挠度：转角：例1按叠加原理求AC点转角挠度PP=+AAABBBCaa解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加qPP=+AAABBBCaa例2如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点位移及转角。

Fl/2ql/2ABC解：1)在F作用下2)在q作用下ABqABCyBqyCqqCqqBFFyBFB查表：C3)在q和F共同作用下11-4单位荷载法&外力的功实功：例如：力在本身引起的位移上作的功。虚功:力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：W12=P1·△2&变形体的虚功原理

变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力所作的变形虚功总和。即

W外=W内W外——外力虚功

W内——内力虚功变力做功—贮能外力缓慢做功W，无损失地转化为变形位能U，贮存于弹性体内部：U=W进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法。

P

广义力（力，力偶）△广义位移（线，角位移）11-4-2线弹性杆件的变形位能1.轴向拉压杆的变形能计算

微元dx上轴力N(x)做功2.扭转杆的变形能计算

微元dx上扭矩T(x)做功3.弯曲杆的变形能计算微元dx上弯矩M(x)做功四、变形能的普遍表达式1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功

2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力

的影响）(例题：11-6,7)11-4-3单位荷载法1．研究的对象：一般为线弹性变形情况下静定结构的位移计算。(包括梁、刚架、桁架等各种结构)2．理论依据（1）变形位能在数值上等于外力在变形过程中所作的功。（适用于所有的变形体）加载方式假定：外力由零逐渐增大，变形过程中动能始终为零。（2） （适用于线弹性的梁）对应一般结构变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)如图示，求k点竖向位移.由变形体虚功方程:δWe=δWi

δWe=PΔiP，P=1δWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

----适用于各种杆件体系(线性,非线性).线弹性时对于由线弹性直杆组成的结构，有：适用于线弹性直杆体系杆件结构位移计算的一般公式受弯梁：拉压杆：注意事项注:1)适用于静定结构和超静定结构;2)材料可以是弹性的也可是非弹性的;3)产生位移的原因可以是各种因素;4)既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对位移的影响；5)一般公式右边三项乘积,当力与变形的方向一致时,乘积取正。

通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程求位移的方法—单位荷载法。虚拟状态的设置：在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟单位力状态。

例1：已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。l解：构造虚设单位力状态.对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?例2求图示刚架A点的竖向位移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.设置单位力状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.可得：△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx讨论1.梁和刚架△KP=2.桁架△KP=3.组合结构△KP=在实际计算时，根据结构的具体情况,位移计算公式可以简化：11-5图乘法△KP=1.图乘法:计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；和M两个弯矩图中至少有一个是直线图形。（3）当结构符合下述条件时：上述积分可以得到简化，积分式可用和M图形互乘表示设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，为一段直线，MP图为任意形状，则上式中的ds可用dx代替。故且tan=常数，则积分为：MP图xy面积ABOABMPdxd=MPdxx⌒MP图xy形心C面积ABOABMPdxd=MPdxxxCyCyC=xCtg⌒有而

则积分运算化简为一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC。

如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算公式可写成△KP=2.图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件（2）竖标yC只能取自直线图形（3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。3.常用的几种简单图形的面积和形心Lh2L/3L/3形心Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心Lh二次抛物线顶点L/2二次抛物线Lh3L/4L/43L/85L/8121=2(hL)/32=(hL)/3顶点4.图乘的技巧：

当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。MP图abcdL则ya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×dMP图abcdyayb此时ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3△=

(1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=例求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhqMP图11hhyC=h形心解：1.作实际状态的MP图。2.设置虚拟状态并作。3.（→←）∆CD=∑EI=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3yC例求图示刚架A点的竖向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L‧L2PL(L‧4=16EIPL2)-2EI123L)PL2EIEIEI例求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。EI=常数。qABCL图11y2y3+解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=y1MP图2311-6线弹性体的互等定理&功的互等定理应用条件:1)σ<σP;2)小变形。即:线性变形体系。1.功的互等定理:P1P2①N1

M1

Q1F1F2②N2

M2

Q2即线弹性体上第一组外力（已达最终值）在由第二组外力引起的相应位移上所作的总虚功，等于第二组外力（已达最终值）在由第一组外力引起的相应位移上所作的总虚功。功的互等定理2.位移互等定理PPD=D212121若：P1=1，P2=1②P2P1①Δ21Δ12

由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。3反力互等定理k11k21k22k12kck×+×=221120ckk×+×221110c1=1c2=1

在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相应的反力r12。

注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用与超静定结构。11-7结构的刚度校核对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲