第六章 弯曲应力

材力6-114内容Chap.6弯曲应力6.1概念6.2纯弯正应力6.3横力弯曲正应力要求掌握弯曲正应力的计算，中性轴位置练习拉压许用应力不等1作业6-16-36-76-12

梁的几何性质对变形的影响FF上节回顾几何性质对变形的影响FF上节回顾

1.静矩dAzyyzO上节回顾形心与静矩的关系Sz

=Ayc

图形对一个轴的静矩，等于该图面积与其形心坐标的乘积。Sy

=AzcyCyzOCzCdAzy上节回顾图形对形心轴的静矩必为零

Cyz上节回顾

2.惯性矩dAzyyzO上节回顾

3.惯性积

当y，z轴中有一轴为对称轴时，图形对yz轴的惯性积必为零hbzyOdzyO上节回顾y，z轴为主惯性轴hbzyO

4.形心主惯性矩上节回顾

形心主惯性矩DzyO上节回顾DdzyOaaFFDCBA第六章弯曲应力

§6.1概述一、纯弯曲与横力弯曲

纯弯曲FQ=0

M≠0,M=常量

如CD段

横力弯曲FQ≠0

M≠0

如AC,DB段FFFQADCBFaMACDB二、弯曲应力与内力的关系弯曲正应力σyzM弯曲切应力τyzσdAQτdA§6.2纯弯曲梁横截面上的应力纯弯曲梁：因FQ=0所以τ=0，σ≠0一、变形特点纵线：变为同心圆弧线；凹侧缩短，凸侧伸长。横线：仍为直线，且垂直于纵线；不同横截面相对转过一个角度。横线纵线aabbmmnnmmnnbbaaMM二、平面假设

横截面在梁变形后仍保持为平面，且与变弯的轴线垂直，只是绕截面上某轴转动了一个角度。

——对梁内部变形的推测横线纵线aabbmmnnmmnnbbaaMM三、中性层，中性轴中性层

弯曲变形过程中长度始终不变的纵线组成的层面。意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，凸侧伸长受拉。MM2.中性轴

中性层与横截面的交线。意义——中性轴将横截面分成两个区域：受拉区和受压区，而中性轴上的正应力为零。弯曲变形可看作横截面绕自己的中性轴转动。横截面四、纯弯曲正应力

z轴——中性轴zyy坐标相同的点所在纵线变形相同，因而应力相同，所以σ=σ(y)

yOy轴——纵对称轴dxyOO考察微段

dx的变形

：

O-O中性层，变形后为O′-O′ρ——中性层曲率半径纵对称面ρyO′dθO′

1.变形几何关系

b′b′的线应变

3.静力学关系2.物理关系当σ≤σp胡克定律MM

可见，中性轴通过横截面的形心。y是对称轴，这一条自动满足则所以4.弯曲正应力公式弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。中性轴记惯性矩5.最大正应力的计算当y=ymax,有式中称抗弯截面系数单位m3σmax

MzhbzO6.Iz和

Wz的计算DyzODdyzOIz和

Wz的计算解：例1.宽b=30mm,厚h=4mm的钢带，绕装在半径为R的圆筒上，已知钢带的E=200GPa，σp=400MPa,要求钢带绕装过程中的应力不超过σp，求圆筒的最小半径R.30R4§6.3横力弯曲正应力强度条件

1.横力弯曲变形特点截面翘曲——平面假设不成立2.横力弯曲正应力采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比l／ｈ≥5时，误差δ＜2﹪，因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截面上的正应力都可用下式计算：3.弯曲正应力强度条件注：⑴当〔σt〕≠〔σc〕,应分别计算。〔σt〕——许用拉应力〔σc〕——许用压应力⑵型钢的Wz等参数应查表。⑶截面上下不对称应当用公式：解：作弯矩图例2.宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。q=4kN/m3mz120180bac50a点：b点：c点：M(kN.m)4.5解：作弯矩图例3.图示简支梁由56号工字钢制成，求危险截面上的最大正应力σmax及同一截面上a点的正应力σa。F=150kN5mz166560a21a点：5mM(kN.m)375CBAy查型钢表：40kN200kN/m500900400ABCDFAFC例题已知：Iz=26.1×10－6m4,〔σt〕=35MPa,〔σc〕=90MPa求：校核梁的正应力强度zy2003016030y2=142y1=48例题解：1.求支反力

FA=14.3kN(↑)

FC=105.7kN(↑)2.内力计算作弯矩图MB=7.15kNm,MC=－16kNm40kN200kN/m500900400ABCDFAFCzy2003016030y2=142y1=48M(kNm)7.1516讨论40kN200kN/m500900400ABCDFAFCzy2003016030y2=142y1=48M(kNm)7.1516例题3.强度校核40kN200kN/m500900400ABCDFAFBzy2003016030y2=142y1=48M(kNm)7.1516讨论1.C截面σtmax１=29.4MPa,并不是全梁最大拉应力。2.B截面σtmax=38.9MPa,超过〔σt〕（=35MPa）11％，所以强度不够。40kN200kN/m500900400ABCDFAFCzy2003016030y2=142y1