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文档简介

第十二章第二节常数项级数的审敛法一、正项级数的审敛法二、任意项级数的审敛法(一)正项级数及基本定理(二)常用审敛法一、正项级数的审敛法(一)正项级数及其基本定理若则称为正项级数.即(n=1,2,…),趋于无穷或有极限定义:定理1.

正项级数收敛证:“”“”证:所以原级数收敛.例1.定理2.(二)常用审敛法1．比较审敛法

强级数收敛,弱级数也收敛;

弱级数发散,强级数也发散.证:这与已知矛盾.证毕.利用级数的性质1、性质3和定理2可证明:解:调和级数∴根据比较审敛法可知，例2.发散,结论:由图可知例如问题：如何使用比较审敛法？(1)如果能把它的(从某项起的)各项适当的放大，使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就(2)如果能把的(从某项起的)各项(保持非负),可判断是收敛的;使缩小后的级数是已知发散的正项级数时,那么就可判断是发散的.适当地缩小当需要判别一个正项级数是否收敛时，解:是发散的.例3.解:例4.解:∴原级数发散.(2)∴原级数收敛．则两个级数同时收敛或发散;(2)当

l

=

0时,(3)当

l

=∞时,设两正项级数满足(1)当0<

l

<∞

时,2.比较审敛法的极限形式定理3.问题:由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,根据(2)可知,(1)当0<

l

<∞时,(2)当l=

0时,由定理2

知收敛,若证:

据极限定义,矛盾.证毕.解:∴由定理3知,例5.解:故级数收敛.例6.

则极限审敛法：在定理3中取:解:故所给级数发散.例7.

解:故所给级数收敛.例8.

说明：用比较审敛法来判断正项级数的敛散性时,比较审敛法虽然有时是很方便的,但使用该方法时需要另外找到一个适当的正项级数作为参考级数.在实践上,找到一个参考级数,往往不是一件轻而易举的事.问题：能否不必另外寻找参考级数,而从级数本身判断它是否收敛？常用的参考级数有:等比级数、p

-级数、调和级数.比较审敛法的不便之处:证:定理4.3.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散;(3)当时级数可能收敛也可能发散.故原级数收敛.公比r<1的等比级数

例如,故原级数发散.如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？是因子的乘积形式且中含有时,用比值法较方便.则无法判断级数的敛散性；一般的,当正项级数的一般项解:(1)例9.(2)解:例10.比值审敛法失效,改用比较审敛法.定理5.4*.根值审敛法(柯西判别法)如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？其内含有根值判别法法失效；或是一些因子的乘积，解:(1)∴

级数收敛.例11.判断下列级数的敛散性:∴

级数收敛.(2)内容小结正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判

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