第五章大数定律与中心极限定理

第五章

大数定律和中心极限定理15.1契比雪夫不等式定理:设随机变量X具有期望E(X)及方差D(X),则>0,有:或2例1已知E(X)=100,D(X)=30,试估计X落在(70,130)内的概率解:P{70<X<130}=P{|X100|<30}由契比雪夫不等式,得:0.967契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知情况下,事件{|XE(X)|<}或{|XE(X)|≥}的概率的一种估计方法3例2已知某种股票每股价格X的平均值为1元,标准差为0.1元,求a,使股价超过1+a元或低于1a元的概率小于10%解:由契比雪夫不等式,得:令a2≥0.1a≥0.3245.2大数定律我们曾经说,频率是概率的反映,随着观察次数的增大,频率将会逐渐稳定到概率.这里是指试验的次数无限增大时,在某种收敛意义下逼近某一定数,这就是所谓大数定律5契比雪夫大数定律设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立,且分别具有期望E(Xk)和方差D(Xk)(k=1,2,...),若方差有界,则>0,有:6由契比雪夫不等式,得:n1表明:算术平均值依概率收敛于数学期望7贝努里大数定律

设n次独立重复试验中事件A发生nA次,在每次试验中事件A发生的概率为p,则>0,有:8∵令由契比雪夫大数定律得出结论E(Xi)=p,D(Xi)=p(1p)又表明:频率依概率收敛于概率p以严格的数学形式表达了频率的稳定性9例1设随机变量Xk(k=1,2,...)相互独立,具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且E(Xk4)(k=1,2,...)存在,试证明:>0,

[证]:令Yk=Xk2(k=1,2,...)由已知,Yk(k=1,2,...)相互独立E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=210D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大数定律:>0,有115.3中心极限定理在一定条件下,大量独立随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为中心极限定理

12的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布函数.独立同分布的中心极限定理设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有期望和方差:

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…),则随机变量13即xR,满足:注意到:14例如,P{a<X<b}15例3某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从[200,2000]上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率解:设第k位顾客的消费额为Xk

(k=1,2,…,10000)商场日销售额为X,则所求为:P{|XE(X)|≤30000}16由已知,=100001100=11106由独立同分布中心极限定理,有:17P{30000≤X11×106≤30000}2(0.58)10.4418棣莫夫-拉普拉斯定理设随机变量Xn~B(n,p)(n=1,2,…),则xR,有:(二项分布以正态分布为极限分布)19∵令X1,X2,…,Xn,…相互独立,均服从以p为参数的两点分布则由独立同分布中心极限定理得出结论20小结1.会利用契