第五章相似矩阵及二次型

§5.1向量的内积、长度及正交性本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化和二次型的化简问题其中涉及向量的内积、长度及正交等知识本节先介绍这些知识

上页下页铃结束返回首页向量的内积设有n维向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]称为向量x与y的内积

说明内积是两个向量之间的一种运算其结果是一个实数用矩阵记号表示当x与y都是列向量时有[x

y]xTy下页向量的内积设有n维向量x(x1

x2

xn)T

y(y1

y2

yn)T

令[x

y]x1y1x2y2

xnyn[x

y]称为向量x与y的内积

内积的性质设x

y

z为n维向量

为实数则(1)[x

y][y

x]

(2)[x

y][x

y]

(3)[xy

z][x

z][y

z]

(4)当x0时[x

x]0

当x0时[x

x]0

(5)[x

y]2[x

x][y

y]——施瓦茨不等式

下页向量的长度

令||x||称为n维向量x的长度(或范数)

向量的长度的性质设x

y为n维向量

为实数则(1)非负性当x0时||x||0

当x0时||x||0

(2)齐次性||x||||x||

(3)三角不等式||xy||||x||||y||

>>>

下页向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角

当x0

y0时

当[x

y]0时称向量x与y正交显然若x0则x与任何向量都正交

定理1

若n维向量a1

a2

ar是一组两两正交的非零向量

则a1

a2

ar线性无关

>>>

下页

例1已知3维向量空间R3中两个向量a1(111)T

a2(1

21)T正交试求一个非零向量a3使a1

a2

a3两两正交

解

设a3(x1

x2

x3)T则a3应满足a1Ta30

a2Ta30即a3应满足齐次线性方程组取a3(101)T即合所求得基础解系(101)T下页注

当||x||1时称x为单位向量

规范正交基

设n维向量e1

e2

er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1

e2

er两两正交且都是单位向量则称e1

e2

er是V的一个规范正交基

例如向量组是R4的一个规范正交基

下页规范正交基

设n维向量e1

e2

er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1

e2

er两两正交且都是单位向量则称e1

e2

er是V的一个规范正交基

向量在规范正交基中的坐标若e1

e2

er是V的一个规范正交基那么V中任一向量a应能由e1

e2

er线性表示并且a[a

e1]e1[a

e2]e2

[a

er]er

事实上设a1e12e2

rer

则eiTaieiTeii即ieiTa

[a

ei]

下页说明

要找一组两两正交的单位向量e1

e2

er使e1

e2

er与a1

a2

ar等价这样一个问题称为把a1

a2

ar这个基规范正交化

施密特正交化方法设a1

a2

ar是向量空间V中的一个基取向量组下页施密特正交化方法设a1

a2

ar是向量空间V中的一个基取向量组容易验证b1

b2

br两两正交且b1

b2

br与a1

a2

ar等价

把b1

b2

br单位化即得V的一个规范正交基下页

例2设a1(12

1)T

a2(131)T

a3(4

10)T试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化

解

令b1a1再令e1

e2

e3即为所求

下页

例3已知a1(111)T求一组非零向量a2

a3使a1

a2

a3两两正交

a2

a3应满足方程a1Tx0即x1x2x30

它的基础解系为1(10

1)T

2(01

1)T把基础解系正交化即得所求亦即取

解

下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)

那么称A为正交矩阵简称正交阵

方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交

n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基

正交矩阵举例

下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)

那么称A为正交矩阵简称正交阵

正交矩阵的性质(1)若A为正交阵则A1AT也是正交阵且|A|1

(2)若A和B都是正交阵则AB也正交阵

正交变换若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换

设yPx为正交变换则有这说明经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变)这是正交变换的优良特性

结束§5.2方阵的特征值与特征向量上页下页铃结束返回首页工程技术中的一些问题如振动问题和稳定性问题常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论

提示

特征值与特征向量设A是n阶矩阵如果数和n维非零向量x使关系式Axx成立那么这样的数称为方阵A的特征值非零向量x称为A

的对应于特征值的特征向量

Axx(AE)x0齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的特征多项式称|AE|0为方阵A的特征方程

下页提示

特征值与特征向量设A是n阶矩阵如果数和n维非零向量x使关系式Axx成立那么这样的数称为方阵A的特征值非零向量x称为A

的对应于特征值的特征向量

特征方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值齐次方程(AE)x0的非零解x就是A的对应于特征值的特征向量特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的特征多项式称|AE|0为方阵A的特征方程

下页特征值与特征向量设A是n阶矩阵如果数和n维非零向量x使关系式Axx成立那么这样的数称为方阵A的特征值非零向量x称为A

的对应于特征值的特征向量

特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的特征多项式称|AE|0为方阵A的特征方程

特征值的性质设n阶矩阵A(aij)的特征值为1

2

n

则(1)12

na11a22

ann

(2)12

n|A|

下页得基础解系(11)T

得基础解系(11)T

方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值

方程(AE)x0的非零解就是A的对应于特征值的特征向量

例1求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征多项式为所以A的特征值为12

24

对于特征值12解方程(A2E)x0p1(11)T是矩阵A的对应于特征值12的特征向量对于特征值24解方程(A4E)x0p2(11)T是矩阵A的对应于特征值24的特征向量>>>>>>下页

例2求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征多项式为所以A的特征值为12

231

得基础解系p2(121)T

得基础解系p1(001)T

对于12解方程(A2E)x0所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量对于231解方程(AE)x0所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量>>>>>>下页

例3求矩阵的特征值和特征向量

解A的特征多项式为所以A的特征值为11

232

得基础解系得基础解系p1(101)T

对于11解方程(AE)x0所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0)对于232解方程(A2E)x0所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2k30)>>>>>>p2(01

1)T

p3(104)T

下页

例4设是方阵A的特征值证明(1)2是A2的特征值

证明

因为是A的特征值故有p0使App于是(1)A2p2p(Ap)A(p)A(Ap)所以2是A2的特征值

因为p0知0有pA1p由App(2)当A可逆时按此例类推不难证明若是A的特征值则k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()a0a1

ann是的多项式

(A)a0Ea1A

anAn是矩阵A的多项式)

下页

例5设3阶矩阵A的特征值为1

12求|A*3A2E|

因为A的特征值全不为0知A可逆故A*|A|A1

而|A|1232所以

解2A13A2E

A*3A2E把上式记作(A)故(A)的特征值为有()2132(1)1

(1)3

(2)3

9(1)(3)3于是|A*3A2E|若是A的特征值则k是Ak的特征值

()是(A)的特征值(其中()是的多项式

(A)是矩阵A的多项式)

下页定理2

设1

2

m是方阵A的m个不同特征值

p1

p2

pm依次是与之对应的特征向量则p1

p2

pm线性无关

Ak(x1p1x2p2

xmpm)0(k12

m1)即1kx1p12kx2p2

mkxmpm0(k12

m1)

证明

把上列各式合写成矩阵形式得设有常数x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0则下页定理2

设1

2

m是方阵A的m个不同特征值

p1

p2

pm依次是与之对应的特征向量则p1

p2

pm线性无关

证明

设有常数x1

x2

xm使x1p1x2p2

xmpm0则上式等号左端等二个矩阵的行列式为范德蒙行列式当pi各不相等时该行列式不等于0从而该矩阵可逆所以向量组p1p2pm线性无关即xjpj0(j12m)但pi0故xj0(j12m)(x1p1

x2p2

xmpm)(0

0

0)于是有下页§5.3相似矩阵相似矩阵与相似变换设A

B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P

使P1APB则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

上页下页铃结束返回首页定理3

若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值也相同

因此|BE||P1APE|

|P1APP1(E)P|

|P1(AE)P|

|P1||AE||P|

|AE|

即A与B有相同的特征多项式

证明

因为A与B相似所以有可逆矩阵P使P1APB下页定理1

若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值也相同

推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1

2

n)相似则1

2

n即是A的n个特征值

因为1

2

n是的n个特征值由定理1知1

2

n也是A的n个特征值

证明

下页相似矩阵的作用若APBP1

则AkPBkP1

A的多项式(A)P(B)P1

特别或有可逆矩阵P使P1AP为对角阵则AkPkP1

(A)P()P1其中kdiag(1k

2k

nk)()diag((1)

(2)

(n))

定理1

若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值也相同

推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1

2

n)相似则1

2

n即是A的n个特征值

下页矩阵的对角化一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P

使P1AP为对角阵？设P1AP其中P(p1

p2

pn)

diag(12n)则APP即A(p1

p2

pn)(p1

p2

pn)diag(12n)(1p1

2p2

npn)

于是有Apiipi(i12

n)

可见i是A的特征值而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量

反之由上节知A恰好有n个特征值并可对应地求得n个特向量这n个特征向量即可构成矩阵P使APP

下页定理4

n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等则A与对角阵相似

矩阵的对角化一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P

使P1AP为对角阵？下页

例1设问x为何值时矩阵A能对角化？

解

得11

231

矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根231有2个线性无关的特征向量即方程(AE)x0有2个线性无关的解亦即系数矩阵AE的秩R(AE)1

所以当x1时

R(AE)1此时矩阵A能对角化

因为结束

例6设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为p1和p2证明p1p2不是A的特征向量

用反证法假设p1p2是A的特征向量则应存在数使A(p1p2)(p1p2)于是

证明

按题设有Ap11p1

Ap22p2故A(p1p2)1p12p2即(1)p1(2)p20(p1p2)1p12p2因此p1p2不是A的特征向量与题设矛盾即12

120故由上式得按定理2知p1

p2线性无关因为12结束§5.4对称矩阵的对角化一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量而并非所有n阶方阵都能对角化但实对称矩阵都是可以对角化的

上页下页铃结束返回首页定理1

对称阵的特征值为实数

设复数为对称阵A的特征值复向量x为对应的特征向量即Axx

x0

证明

显然有于是有两式相减得但因x0所以下页定理1

对称阵的特征值为实数

显然当特征值i为实数时齐次线性方程组(AiE)x0是实系数方程组由|AiE|0知必有实的基础解系所以对应的特征向量可以取实向量

下页定理1

对称阵的特征值为实数

定理2设1

2是对称阵A的两个特征值

p1

p2是对应的特征向量若12是则p1与p2正交

证明

已知Ap11p1

Ap22p2

12

因为A对称故p1TAp1TAT(Ap1)T(1p1)T

1p1T于是1p1Tp2p1TAp2p1T(2p2)2p1Tp2

即(12)p1Tp20但12即p1与p2正交故p1Tp20下页定理1

对称阵的特征值为实数

定理2设1

2是对称阵A的两个特征值

p1

p2是对应的特征向量若12是则p1与p2正交

定理3

设A为n阶对称阵则必有正交阵P

使P1APPTAP

其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵

推论设A为n阶对称阵

是A的特征方程的k重根则矩阵AE的秩R(AE)nk

从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量

>>>

下页矩阵对角化的步骤

(1)求出A的全部互不相等的特征值1

2

s

它们的重数依次为k1

k2

ks(k1k2

ksn)

(2)对每个ki重特征值i

求方程(AE)x0的基础解系得ki个线性无关的特征向量再把它们正交化、单位化得ki个两两正交的单位特征向量因k1k2

ksn

故总共可得n个两两正交的单位特征向量

(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P

便有P1APPTAP

注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应

下页

例1设求正交阵P使P1AP为对角阵

解

由|AE|(1)2(2)将1单位化得2(110)T

3(101)T将2

3正交化、单位化得得特征值12

231

得基础解系1(1

11)T对应12解方程(A2E)x0对应231解方程(AE)x0得基础解系并且P1APdiag(211)

于是P(p1

p2

p3)为正交阵下页提示

例2设求An

因为A对称故A可对角化即有可逆向量P及对角阵

解

从而AnPnP1

于是APP1使P1AP因为|AE|(1)(3)对应11解方程(AE)x0对应13解方程(A3E)x0于是有可逆矩阵P(p1

p2)及diag(13)使P1AP从而或APP1AnPnP1

所以A的特征值为11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T下页提示

例2设求An

解

因为|AE|(1)(3)对应11解方程(AE)x0对应13解方程(A3E)x0P1AP从而或APP1AnPnP1

所以A的特征值为11

23

得p1(11)T

得p2(1

1)T于是有可逆矩阵P(p1

p2)及diag(13)使结束§5.5二次型及其标准形在解析几何中为了便于研究二次曲线ax2bxycy21的几何性质我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形mx2ny21化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式使它只含有平方项

上页下页铃结束返回首页二次型含有n个变量x1

x2

xn的二次齐次函数

f(x1

x2

xn)a11x12a22x22

annxn2

2a12x1x22a13x1x3

2an1

nxn1xn

称为二次型

令aijaji则>>>

因此二次型可记作fxTAx其中A是一个对称矩阵

二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系

对称矩阵A叫做二次型f的矩阵

f也叫做对称矩阵A的二次型对称矩阵的秩就叫做二次型f的秩

下页注

二次型的标准形与规范形xCy

如果二次型的标准形形如fy12y22

yp2yp12

yn2

则这种标准形称为二次型的规范形

这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)

对于二次型我们讨论的主要问题是寻求可逆的线性变换xCy使二次型只含平方项fk1y12k2y22

knyn2

下页二次型fxTAx在线性变换xCy下有若有可逆矩阵C使BCTAC则称矩阵A与B合同

合同矩阵yT(CTAC)y(Cy)TA(Cy)fxTAx提示显然若A为对称阵则BCTAC也为对称阵且R(B)R(A)事实上

BT(CTAC)TCTATCCTACB即B为对称阵又因为BCTAC而C可逆从而CT也可逆由矩阵秩的性质即知R(B)R(A)

由此可知经可逆变换xCy后二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC且二次型的秩不变

下页分析要使二次型f经可逆变换xCy变成标准形这就是要使

yT(CTAC)yk1y12k2y22

knyn2也就是要使CTAC成为对角阵因此我们的主要问题就是对于对称阵A寻求可逆矩阵C使CTAC为对角阵

根据上节的知识任给对称阵A总有正交阵P使P1AP即PTAP下页定理1任给二次型fxTAx

总有正交变换xPy

使f化为标准形fk1y12k2y22

knyn2其中1

2

n是f的矩阵A的特征值

推论任给n元二次型fxTAx

总有可逆变换xCz

使f(Cy)为规范形

>>>

下页

例1求一个正交变换xPy把二次型f化为标准形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩阵为

解提示

矩阵A的特征多项式为(3)(1)3

矩阵A的特征值为13

2341

下页

例1求一个正交变换xPy把二次型f化为标准形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩阵为

解提示

矩阵A的特征值为13

2341

对于13解方程(A3E)x0单位化即得得基础解系1(1

1

11)T

下页

例1求一个正交变换xPy把二次型f化为标准形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩阵为矩阵A的特征值为13

2341

矩阵A的对应于13的单位化特征向量为对于2,3,41解方程(AE)x02(1100)T

3(0011)T

4(1

11

1)T

单位化即得

解得正交的基础解系>>>

下页

例1求一个正交变换xPy把二次型f化为标准形其中f(x1

x2

x3

x4)2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4二次型的矩阵为矩阵A的特征值为13

2341

矩阵A的对应于13的单位化特征向量为矩阵A的对应于2341的正交的单位化的特征向量为令P(p1

p2

p3

p4)则有正交变换xPy使

f(Py)yTPTAPy3y12y22y32y42

解>>>

结束§5.6用配方法化二次型成标准形用正交变换化二次型成标准形具有保持几何形状不变的优点如果不限于用正交变换那么还可以有多种方法(对应有多个可逆的线性变换)把二次型化成标准形本节只介绍拉格朗日配方法上页下页铃结束返回首页提示

例1化二次型f为标准形并求所用的变换矩阵其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

(x1x2x3)2(x22x3)2

(x1x2x3)2(x1x2x3)2x224x2x34x32x22x322x2x3由于f中含变换x1的平方项故把含x1的项归并起来2x225x326x2x3下页

例1化二次型f为标准形并求所用的变换矩阵其中fx122x225x322x1x22x1x36x2x3配方可得

fx122x1x22x1x32x225x326x2x3

解

就把f化成标准形(规范形)fy12y22(x1x2x3)2(x22x3)2

所用变换矩阵为下页>>>>>>提示

例2化二次型f为规范形并求所用的变换矩阵其中f2x1x22x1x36x2x3在f中不含平方项而在标准形中只含平方项

令x1y1y2

x2y