极限与平均变化率

导数的预备知识

——极限与平均变化率教学目标

了解函数的极限和平均变化率教学重点：函数的平均变化率无论x+或x-

一、函数的极限

一、函数的极限x110100100010000100000···y10.10.010.0010.00010.00001···考察函数当x无限增大时的变化趋势．yxO当自变量x取正值并无限增大时，函数的值无限趋近于0，即|y-0|可以变得任意小．当x趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作函数的极限yxO当x趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作函数的极限就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，也可记作:当当就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，也可记作:函数的极限如果那就是说当x趋向于也可记作:当无穷大时，函数的极限是a，记作对于常数函数也有函数的极限x取正值并且无限增大无限趋近于常数a

极限表示

值的变化趋势

自变量x的变化趋势

x取负值并且绝对值无限增大无限趋近于常数a

x取正值并且无限增大，x取负值并且绝对值无限增大无限趋近于常数a

函数的极限例1、分别就自变量x趋向于的情况，讨论下列函数的变化趋势：（1）解：当时，无限趋近于0，即当时，趋近于函数的极限（2）解：当时，的值保持为1．即当时，的值保持为-1，即研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题

二、

平均变化率变化率问题问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么

二、

平均变化率我们来分

析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

二、

平均变化率问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算hto请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义:若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)

则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率PQoxyy=f(x)割线切线T三、平均变化率的极限的几何意义:

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线切线T练习：2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A3:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①