第三章点、直线、平面的投影

第三章点、直线、平面的投影第三章投影法和点、直线、平面的投影§3-1

投影法§3-2

多面正投影和点的投影§3-3

直线的投影§3-4

平面的投影§3-5

直线与平面以及两平面之间的相对位置一、投影法的基本知识§3-1投影法投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投影法:所有投射线的起源点。投射中心:发自投射中心且通过物体上各点的直线。投射线:投影面:在投影法中得到投影的面。投影(图):根据投影法所得到的图形。§3-1投影法二、投影法的分类§3-1投影法一、多面正投影§3-2多面正投影和点的投影

将在互相垂直的两个或多个投影面上得到的正投影展开在同一图面上，并进行有规则地配置，这样的图形称为正投影或正投影图。§3-2多面正投影和点的投影二、点在两投影面体系第一分角中的投影§3-2多面正投影和点的投影三、点在三投影面体系第一分角中的投影§3-2多面正投影和点的投影1.点的投影与坐标§3-2多面正投影和点的投影2.投影面和投影轴上的点§3-2多面正投影和点的投影3.两点的相对位置§3-2多面正投影和点的投影4.重影点§3-2多面正投影和点的投影一、直线及直线上点的投影特性§3-3直线的投影3.直线上点的投影，必在直线的同面投影上。1.不垂直于投影面的直线的投影，仍为直线。4.不垂直于投影面的直线段上的点，分割直线段之比，在投影图上仍保持不变。2.垂直于投影面的直线的投影，积聚成一点。§3-3直线的投影一、直线及直线上点的投影特性（举例）§3-3直线的投影二、直线对投影面的各种相对位置§3-3直线的投影直线按对投影面的相对位置，可以分为三类：侧垂线（⊥W

面）铅垂线（⊥H

面）侧平线（∥W

面）水平线（∥H

面）正垂线（⊥V

面）垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。投影面的垂直线正平线（∥V

面）投影面的平行线与三个投影面都倾斜（∠V

面、∠H

面、∠W

面）一般位置直线平行于一个投影面，与另外两个投影面倾斜。直线对投影面的相对位置特殊位置直线

直线分类1.一般位置直线§3-3直线的投影2.投影面平行线§3-3直线的投影3.投影面垂直线§3-3直线的投影三、两直线的相对位置§3-3直线的投影空间两直线可以有三种不同的相对位置：平行相交交叉同面直线异面直线三、两直线的相对位置§3-3直线的投影空间两直线可以有三种不同的相对位置：平行相交交叉同面直线异面直线表：两直线的相对位置的投影特性§3-3直线的投影三、两直线的相对位置(举例）§3-3直线的投影三、两直线的相对位置(举例）§3-3直线的投影三、两直线的相对位置(举例）§3-3直线的投影四、投影变换的基本概念§3-3直线的投影研究如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助于改变以后所得到的新投影——辅助投影，来简便地解决空间问题的方法。常用的投影变换方法：换面法：用更换投影面来改变空间几何元素与投影面相对位置的方法。投影变换：换面法旋转法1.换面法的基本作图法(情况一)§3-3直线的投影1.换面法的基本作图法(情况二)§3-3直线的投影1.换面法的基本作图法(情况三)§3-3直线的投影2.直线换面法（举例）§3-3直线的投影2.直线换面法(举例)§3-3直线的投影2.直线换面法（举例）§3-3直线的投影五、一边平行于投影面的直角的投影§3-3直线的投影

当空间两直线成直角（相交或交叉）时：（1）若两边都与某投影面倾斜，则在该面上的投影不是直角。（2）若两边都与某投影面平行，则在该面上的投影反映直角。（3）若一边平行于某投影面，则在该面上的投影仍是直角。五、一边平行于投影面的直角的投影§3-3直线的投影当空间两直线成直角（相交或交叉）时：（1）若两边都与某投影面倾斜，则在该面上的投影不是直角。（2）若两边都与某投影面平行，则在该面上的投影反映直角。（3）若一边平行于某投影面，则在该面上的投影仍是直角。五、一边平行于投影面的直角的投影§3-3直线的投影五、一边平行于投影面的直角的投影§3-3直线的投影六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角§3-3直线的投影

特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。除用换面法外，还可用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。§3-3直线的投影六、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角一、平面的表示法§3-4平面的投影

平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。一、平面的表示法§3-4平面的投影

平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。

上述5种方式中，平面图形是最常用的表示方式。§3-4平面的投影二、平面对投影面的各种相对位置§3-4平面的投影平面按对投影面的相对位置，可以分为三类：

平面分类平面对投影面的相对位置特殊位置平面

投影面平行面平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面正平面（∥V面）水平面（∥H

面）侧平面（∥W

面）投影面垂直面只垂直于一个投影面正垂面（⊥V

面）铅垂面（⊥H

面）侧垂面（⊥W

面）一般位置平面与三个投影面都倾斜（∠V

面、∠H

面、∠W

面）1.一般位置平面§3-4平面的投影2.投影面垂直面§3-4平面的投影3.投影面平行面§3-4平面的投影三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面§3-4平面的投影平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交线。三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面§3-4平面的投影平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交线。四、平面上的点和直线§3-4平面的投影四、平面上的点和直线（举例）§3-4平面的投影§3-4平面的投影

因为特殊位置平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成直线，所以特殊位置平面上的点、直线和平面图形在该平面所垂直的投影面上的投影，都位于这个平面的有积聚性的同面投影或迹线上。四、平面上的点和直线（举例）§3-4平面的投影四、平面上的点和直线（举例）五、圆的投影§3-4平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况一）§3-4平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况二）§3-4平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况三）§3-4平面的投影§3-4平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（举例）§3-4平面的投影六、平面在换面法中的基本情况（情况三）§3-4平面的投影七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长保持原投影面体系不变，把空间几何元素绕选定的轴线转到与投影面成特殊位置，以达到求解几何问题的目的，这种方法称为旋转法。当一点绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在该投影面上的投影为一圆，在另一投影面上的投影为一条垂直于旋转轴的直线，这种方法称为绕投影面垂直线为轴的旋转法。绕投影面垂直轴的旋转法基本概念§3-4平面的投影七、旋转法作投影面垂直面的真形和一般位置直线的真长已知△ABC的两面投影，求△ABC的真形。“三同”原则在旋转时，各几何元素必须绕同一根轴，按同一方向，旋转同一角度旋转。分析：AB为铅垂线，AC和BC为一般位置直线。以AB为旋转轴，旋转点C，使水平投影ac1和bc1与OX轴相平行即可。作图：

1.以水平投影ab重影点为圆心，ac长为半径画圆弧，使ac1∥OX，得到c1点。

2.过点c’作OX的平行线与过点c1的OX的垂直线相交于c1’。

3.连线a’c1’、b’c1’和ac1，完成作图。这时△a’b’c1’为△ABC的真形，线段a’c1’为AC的真长，线段b’c1’为BC的真长。△ABC的真形AC的真长BC的真长一、在特殊情况下图示与图解§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置空间直线与平面以及平面与平面可以有以下几种相对位置：

相交

直线与平面平行平行平面与平面平行

直线与平面相交平面与平面相交（其中垂直是相交的特例）§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置1.相交§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面的交点是线面的共有点，两平面的交线是两面的共有直线。1.相交（举例）§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置1.相交（举例）§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置1.相交（举例）2.平行§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置3.垂直§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置3.垂直(举例)§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置与垂直于投影面的已知平面相垂直的平面必定包含已知平面的垂线，垂线是与已知平面相垂直的投影面的平行线，垂线的投影垂直于已知平面的有积聚性的同面投影。3.垂直二、用换面法解点、直线、平面的定位和度量问题§3-5直线与平面以及两平面之间的相对位置

有关点、直线、平面的定位和度量问题，常常涉及它们对投影面的相对位置，它们之间