初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似 全市获奖

《第4章图形的相似》一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．= B．= C．= D．=2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个等腰三角形C．两个五边形 D．两个正方形4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：45．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．= B．= C．= D．=7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．49．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A． B． C． D．12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为______．二、填空题13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为______．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=______．15．一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是______．16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是______m．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．（2）求PD+PC的最小值．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．（1）证明：BE2=AE•DE；（2）若=1，=______；并说明理由．

《第4章图形的相似》参考答案一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．= B．= C．= D．=【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；故选C．2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由=2，得==3．故选：A．3．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个等腰三角形C．两个五边形 D．两个正方形【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选D．4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．故选B．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．故选B．6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．= B．= C．= D．=【解答】解：当=时，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．故选：C．7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，∴，∵DE=3cm，∴=，解得：DE=9cm．故选C．8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．4【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD==，∴CE=，故选C．9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）【解答】解：因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，所以点B的坐标为（4×2，1×2），即（8，2）．故选D．10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④【解答】解：①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；②位似图形一定有位似中心；正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′；正确．故选B．11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A． B． C． D．【解答】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为﹣4．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，∵OA2﹣AB2=8，∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，∴（OC+BD）•CD=4，∵点B在第四象限，∴a•b=﹣4，∴k=﹣4．故答案为：﹣4．二、填空题13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为．【解答】解：由于C为线段AB=1的黄金分割点，且AC＜CB，则AC=1﹣=．故本题答案为：．14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=1：20．【解答】解；∵S△BDE：S△DEC=1：4，∴BE：EC=1：4，∴BE：BC=1：5，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴==，设S△BED=k，则S△DEC=4k，S△ABC=25k，∴S△ADC=20k，∴S△BDE：S△DCA=1：20．故答案为：1：20．15．一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是．【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，∴a2=，∴a=．故答案为：．16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【解答】解：如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，∵CE∥BN，∴△ACE∽△ABN，∴=，即=，同理可得=，∴AC=BD，∴AC=BD=AB，∵AC+CD+DB=AB，∴AB+12+AB=AB，解得AB=18，∵BG∥AM，∴△HBG∽△HAM，∴=，即=，解得BH=．即当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．故答案为．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD=2×4=8，∴CD=2．18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=﹣x2+80x．（含x的代数式），当x=60cm时，y最大，最大面积是240cm2．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，∴HG∥EF，GH=HE=ID，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，∵BC=120cm，AD=80cm，∴，解得：HG=48cm，∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；（2）∵四边形EFGH是长方形，∴HG∥EF，∴△AEF∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=﹣x+80，∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240，∵﹣＜0，∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；故答案为：﹣x2+80x，60cm，240cm2．19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．（2）求PD+PC的最小值．【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．∴∠A=∠B=90°．∵AP=3，AB=7，∴PB=4．∴，．∴．∴△DAP∽△CBP．（2）如图所示：点D关于AB的对称点D′，连接D′C交BA于点P，过点D′作D′E⊥BC，垂足为E．∵点D与点D′关于AB对称，∴PD=D′P．∴PD+PC=D′P+PC=D′C．在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7．∴PD+PC的最小值为7．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．（1）证明：BE2=AE•DE；（