【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9/9§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计 教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明确概念[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=，求ab．例2.设|a|=12，|b|=9，ab=，求a与b的夹角θ．[问题7]如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c=.[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？能否证明一下？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：教师5：我们可以用图来表示：当，a与b同向；当，a与b反向；当，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量︱a︱︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积），记作：，即：=︱a︱︱b︱cos.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角的范围的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：=|a|cose.教师13：提出问题8.学生11：在上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=2e=e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1)ae=ea=|a|cos.(2)a⊥b⇔ab＝0.(3)当a与b同向时，ab＝|a||b|；当a与b反向时，ab＝－|a|b|.(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).(5)|ab|≤|a||b|.(6)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq\f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)3利用数量积求向量的模例5.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．[课堂练习1]设向量a，b满足|a+b|=|a-b|=，则a·b=（）．A．1

B．2

C．3D．5[课堂练习2]设向量a，b满足|a|=|b|=1，a·b=,则|a+2b|=_____.教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4coseq\f(2π,3)e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθ=coseq\f(2π,3)=－a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(2π,3)，故选C．教师21：完成例5学生17：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×coseq\f(π,3)＝eq\f(25,2)，所以|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(25＋25＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(25＋25－25)＝5.教师18：布置课堂练习1、2．学生16：完成课堂练习，并订正答案．通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2：考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力．课堂小结升华认知[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，