机控系统的时间响应分析

中北大学机械工程与自动化学院主讲：马维金教授2023/2/3

1机械控制工程基础杨叔子主编华中科技大学出版社

2011年3.1时间响应及其组成

3.2典型输入信号

3.3一阶系统

3.4二阶系统

3.5高阶系统

3.6系统误差分析与计算3.7δ函数在时间响应中的应用3.8利用MATLAB分析时间响应2第3章系统的时间响应33.0系统的时间响应分析建立系统数学模型之后，可以用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的系统特性分析方法之一。时间响应：在输入作用下，系统的输出在时域的表现形式，在数学上就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。对系统的传统分析方法主要三种：时间响应分析(第三章)、频域响应分析(第四章)和稳定性分析(第五章)43.1时间响应及其组成举例说明53.1时间响应及其组成一般情况63.1时间响应及其组成讨论73.1时间响应及其组成83.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性93.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性103.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性113.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性123.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性133.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性143.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性153.1系统的特征根影响系统自由响应的收敛性163.2控制系统的典型输入信号173.3一阶系统可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时间常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。183.3.1一阶系统的单位脉冲响应193.3.2一阶系统的单位阶跃响应203.3.3一阶系统的单位斜坡响应213.3.4一阶系统的性能指标223.3.5一阶系统不同T的响应情况233.4二阶系统一般控制系统均系高阶系统，但在一定条件下，可忽略某些次要因素近似的用一个二阶系统来表示。因此研究二阶系统有较大的实际意义。二阶系统的动力学方程及传递函数分别为：

243.4二阶系统式中：ω

称为无阻尼固有频率；

ζ

称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数。由上式的分母可以得到二阶系统的特征方程：

此方程的两个特征根是上式可知，随着阻尼比ζ

取值不同，二阶系统的特征根也不同。

253.4二阶系统（1）当0＜ζ＜1时，两特征根为共轭复数，即：此时，系统为欠阻尼系统，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数平面左半面内的共轭复数极点。

263.4二阶系统（2）当ζ＝0时，两特征根为共轭纯虚根，即：此时系统为无阻尼系统。273.4二阶系统（3）当ζ＝1时，特征方程有两个相等的实根，即：

此时系统称为临界阻尼系统。

283.4二阶系统（4）当ζ

>1时，特征方程有两个不等实根，即：

此时系统称为过阻尼系统，它可看作是两个一阶惯性环节的组合，又可以视为两个一阶环节的并联，还可以看成两个一阶环节的串联。

293.4.1二阶系统的单位脉冲响应303.4.1二阶系统的单位脉冲响应313.4.1二阶系统的单位脉冲响应323.4.1二阶系统的单位脉冲响应333.4.2二阶系统的单位阶跃响应可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。343.4.2二阶系统的单位阶跃响应可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。353.4.2二阶系统的单位阶跃响应363.4.3二阶系统的单位阶跃响应373.4.3二阶系统响应的性能指标可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。383.4.3二阶系统响应的性能指标可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。393.4.3二阶系统响应的性能指标可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。403.4.3二阶系统响应的性能指标可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。413.4.3二阶系统响应的性能指标423.4.3二阶系统响应的性能指标可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。433.4.3二阶系统响应的性能指标443.4.3二阶系统响应的性能指标举例可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式分别为：（所对应的典型环节是惯性环节）

T称为一阶系统的时常数，也是一阶系统的特征参数，表征系统的固有特性。453.4.3二阶系统响应的性能指标举例463.4.3二阶系统响应的性能指标举例473.5高阶系统483.5高阶系统493.5高阶系统503.5高阶系统513.5高阶系统523.6系统误差分析与计算系统误差：期望输出与实际输出的差。误差产生的原因：存在随机干扰、元件的性能不完善等。引起误差的内因是系统本身的结构，引起误差的外因是输入量及其导数的变化。系统的输出由瞬态分量和稳态分量所组成,因而系统的误差也由瞬态误差和稳态误差所组成。在过渡过程开始时，瞬态误差是主要部分，但它随着时间而逐渐衰减，稳态误差将成为主要部分。533.6.1系统误差e(t)与偏差ε(t)系统误差：理想输出与实际输出之差543.6.1系统误差e(t)与偏差ε(t)系统误差：理想输出与实际输出之差553.6.2

系统误差e(t)的一般计算563.6.3系统稳态误差ess(t)与稳态偏差εss(t)系统的稳态性能描述：稳态误差与稳态偏差573.6.4与输入有关的稳态偏差εss(t)583.6.4与输入有关的稳态偏差εss(t)593.6.4与输入有关的稳态偏差εss(t)603.6.5与干扰有关的稳态偏差εss(t)系统的稳态偏差：与结构特征和输入信号有关613.6.5与干扰有关的稳态偏差εss(t)系统的稳态偏差：与结构特征和输入信号有关623.7δ函数在时间响应中的作用

δ函数定义：633.7δ函数在时间响应中的作用单位脉冲函数与传递函数互为拉普拉斯变换对。

如果对系统输入一单位脉冲函数δ(t)，则系统的单位脉冲响应函数为643.7δ函数在时间响应中的作用653.7δ函数在时间响应中的作用663.7δ函数在时间响应中的作用673.7δ函数在时间响应中的作用683.7δ函数在时间响应中的作用693.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应impulse函数：用于生成单位脉冲响应703.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应step函数：用于生成单位阶跃响应713.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应

lsim

函数：用于生成对任意输入的时间响应723.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应

举例：图示系统的传递函数如下，求系统在时间常数τ取不同值时的单位脉冲响应、单位阶跃响应和正弦函数响应。73

解：令时间常数τ分别取不同值时，分析单位脉冲响应和单位阶跃响应的MATLAB文本如下。t=[0:0.01:0.8];

nG=[50];tao=0;dG=[0.051+50*tao50];G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=[0.051+50*tao50];G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=[0.051+50*tao50];G3=tf(nG,dG)[y1,T]=impulse(G1,t);[y1a,T]=step(G1,t);[y2,T]=impulse(G2,t);[y2a,T]=step(G2,t);[y3,T]=impulse(G3,t);[y3a,T]=step(G3,t);subplot(121),plot(T,y1,'--',T,y2,'-.',T,y3,'-')legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025')xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');gridon;subplot(122),plot(T,y1a,'--',T,y2a,'-.',T,y3a,'-')legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025')gridon;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');74

解：令时间常数τ分别取不同值时，用MATLAB分析单位脉冲响应和单位阶跃响应的结果如图。3.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应75

对于任意输入，例如正弦输入，应用lsim函数求时间常数τ=0.025时的时间相应及误差曲线，MATLAB文本如下。t=[0:0.01:1];u=sin(2*pi.*t);%tao=0.025;nG=[50];dG=[0.051+50*tao50];G=tf(nG,dG);%y=lsim(G,u,t);%plot(t,u,'-.',t,y,'-',t,u-y,'-.','linewidth',1)legend('u(t)','xo(t)','e(t)')grid;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');3.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应76

解：令时间常数τ=0.025时，用MATLAB分析正弦响应的结果如图。3.8利用MATLAB分析时间响应3.8.1用MATLAB求系统时间响应77举例：对于上述例题，τ取不同值时，求出单位阶跃响应以后，用MATLAB计算的瞬态性能指标如下表。从上表可见，系统引入速度负反馈以后，系统的调整时间和最大超调量都得到减小。3.8利用MATLAB分析时间响应3.8.2用MATLAB求系统的瞬态性能指标τtrtPMPts00.06400.10500.35090.35300.01250.07800.11600.15230.25000.0250.10700.14100.04150.188078举例：用MATLAB计算瞬态性能指标的文本如下。t=0:0.001:1;yss=1;

dta=0.02;nG=[50];tao=0;dG=[0.051+50*tao50];G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=[0.051+50*tao50];G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=[0.051+50*tao50];G3=tf(nG,dG);y1=step(G1,t);y2=step(G2,t);y3=step(G3,t);r=1;whiley1(r)<yss;r=r+1;endtr1=(r-1)*0.001;

[ymax,tp]=max(y1);tp1=(tp-1)*0.001;

mp1=(ymax-yss)/yss;

s=1001;whiley1(s)>1-dta&y1(s)<1+dta;s=s-1;endts1=(s-1)*0.001;

r=1;whiley2(r)<yss;r=r+1;endtr2=(r-1)*0.001;[ymax,tp]=max(y2);tp2=(tp-1)*0.001;mp2=(ymax-yss)/yss;s=1001;whiley2(s)>1-dta&y3(s)<1+dta;s=s-