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文档简介
适用年级:九年级构造三直角巧解点坐标“一线三直角”模型介绍1.同侧型如图1,∠ADB=∠AEC=∠1=90°,且它们的顶点均在直线DE上,则△ABD∽△CAE2.异侧型如图2,∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°,且它们的顶点均在直线DE上,则△ABD∽△CAE若添加一组对边相等,AC=CB,或AD=CE,那么就有△ADC≌△CEB(见右两图)图1图2等腰直角三角形+直角坐标系构造“一线三直角”模型已知,如图,∠ACB=90°,AC=BC,点A(0.1),点C(2,0),求B点坐标热身训练解:过点B作BH⊥X轴于点H∴∠BCH+∠CBH=90°∵∠ACB=90°∴∠BCH+∠ACO=90°∴∠CBH=∠ACO又∵∠AOC=∠BHC=90°AC=BC∴△AOC≌△CHB(AAS)∴CH=AO=1,BH=OC=2∴B(3,2)已知,如图,∠ACB=90°,AC=BC,点A(0.1),点C(2,0),求B点坐标例1.如图,直线y=2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B写出A,B两点坐标若直线BE与直线AB所夹锐角为45°,请直接写出直线BE的函数解析式解:(1)y=2x-2=0x=1令x=0,则y=-2∴A(1,0)B(0,-2)例1.如图,直线y=2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B写出A,B两点坐标若直线BE与直线AB所夹锐角为45°,请直接写出直线BE的函数解析式解:(2)当直线BE在直线AB左侧时,B(0,-2)过点A作直线AB的垂线交直线BE与点C∵∠ABC=45°构造“一线三直角”易证△ACH≌△AOB∴C(-1,1)∴直线BE:y=-3x-2当直线BD在直线AB右侧时,同理△AOB≌△ADG∴D(3,-1)∴直线BE:例1.如图,直线y=2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B写出A,B两点坐标若直线BE与直线AB所夹锐角为45°,请直接写出直线BE的函数解析式例2.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数的图像上。作射线AB,再将射线AB绕A逆时针方向旋转45°,交反比例函数图像于点C,则C的坐标是?解法1:∵A(2,3)又∵∠BAC=45°过B作BD⊥AB交AC于D,过D作DF垂直于y轴于F易证△ABE≌△BFD∴DF=BE=1,BF=AE=2,OF=2-2=0O与F重合,D在x轴上∴D(1,0)直线AD:y=3x-3联立方程:y=3x-3
∴C(-1,-6)例2.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数的图像上。作射线AB,再将射线AB绕A逆时针方向旋转45°,交反比例函数图像于点C,则C的坐标是?解法2:若直线AB与x轴的交点为D,易求AB解析式为确定D坐标(-4,0),作DG⊥AB交直线AC于点G,过点D作x轴的垂线EF,与过A,G作y轴的垂线交于点E,F,构造K型全等△AED≌△DFG,易得G(-1,-6),发现点G在双曲线上,所以点G与点C重合,从而得到交点C(-1,-6)例2.如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数的图像上。作射线AB,再将射线AB绕A逆时针方向旋转45°,交反比例函数图像于点C,则C的坐标是?反思:此题两种解法都不存在直角,但都可以利用45°角构造等腰直角三角形,进而构造“K”型全等来求解,若非45°角时,则可以构造”K”型相似来求解。例3.如图,在直角坐标系中,点A(1,3),点B(2,-1),坐标轴上是否存在点C,使得∠ACB为直角?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。(1)当点C在y轴上,设C(0,c),分别过点A、B作X轴平行线,交y轴于点D、E。则根据“一线三直角模型”易证△ACD∽△CBE∴AD:CE=CD:BE即1:(c+1)=(3-c):2∴∴例3.如图,在直角坐标系中,点A(1,3),点B(2,-1),坐标轴上是否存在点C,使得∠ACB为直角?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。分别过点A,B作y轴的平行线,交X轴于点D,E,则根据“一线三直角模型”易证△ACD∽△CBE例3.如图,在直角坐标系中,点A(1,3),点B(2,-1),坐标轴上是否存在点C,使得∠ACB为直角?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。(2)当点C在X轴上,设点C(c,0)AD:CE=CD:BE即3:(2-c)=(1-c):1解得综上所述,符合条件的C点坐标有四个:针对训练如图,在直角坐标系中,点A(1,3),B(2,-1),在一次函数的图像上是否存在点C,使得∠ACB为直角?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。设∠ACB为直角时,过点C作y轴的平行线DE,分别过点A,B作DE的垂线,垂足分别为D,E。由“一线三直角模型”可知,△ACD∽△CBE∴AD:CE=CD:BE
如图,在直角坐标系中,点A(1,3),B(2,-1),在一次函数的图像上是否存在点C,使得∠ACB为直角?若存在,请求出点
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