离散时间随机信号和随机过程A

第五章

离散时间随机信号

及随机过程

本章内容讨论离散时间随机信号的表示方法、特性、数字特征及其估计;离散时间随机信号通过线性非移变系统所产生的响应.

5.1概述离散时间确定信号可以用数学公式数据表格图形等形式唯一和准确地表示出来。如单位取样序列单位阶跃序列指数序列三角序列。离散时间随机信号不可能用确定信号的表示方法表示，只能用概率和统计的方法描述。如投硬币，出现的正反面组成的序列。

信号确定性随机性非周期性周期性各态遍历非平稳平稳非各态遍历

确定性信号

随机信号

水文资料

流量概率密度估计

例1、下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射手射击一次的环数B．水沸腾的温度点C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次数E.语音信号地震信号广播信号电视信号

例1、下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射手射击一次的环数是

B．水沸腾的温度点不是

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和是D．某电话机在时间(0，T)内收到的呼叫次数是E.语音信号地震信号广播信号电视信号是5.2随机变量的描述

随机变量x概率分布函数定义(x不超过某个值X的概率)

分布函数的重要性质(1)单调非减函数(X为实数)(2)

右连续

连续随机变量的概率密度函数

离散随机变量的概率质量函数(概率密度函数不存在)

概率质量函数与概率分布函数的关系:连续随机变量x的概率密度函数的性质:

例5.1投掷硬币例5.2均匀分布例5.3量化误差

计算概率分布函数和概率质量函数较麻烦,引入随机变量的数字特征.(统计特性)

如果随机变量是电压或电流，那么其均值就是该电压或电流的直流分量。

随机变量的数值特征

(1)均值(统计平均或集合平均,期望值算子)

(连续)

(离散)均值的性质:（与线性独立）意义：反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（离散随机变量）（2）方差（3）均方值（连续随机变量）意义：反映了随机变量的波动与离散的程度.

（4）物理意义

设随机变量是电压或电流，则

均方值

是在单位电阻上消耗的总的平均功率;

方差

是交流成分在单位电阻上消耗的平均功率；

均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗的平均功率.

.

总平均功率等于交流成分的平均功率与直流成分的平均功率之和

x的n阶原点矩x的n阶中心矩均值等于随机变量的一阶原点矩，均方值等于随机变量的二阶原点矩，方差等于随机变量的二阶中心矩。练习

求在区间（）均匀分布的随机变量的均值和方差。练习

已知随机变量为瑞利分布,求瑞利变量的均值和方差。练习求正态分布的随机变量的均值和方差。

5.3离散随机过程（1）离散随机过程由无限多个随机变量构成的一个时间序列构成一个随机过程.仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的还应该知道不同时刻随机变量之间的关系,引入联合概率分布函数和联合概率密度函数.

随机过程理论的应用：信道容量分析53

类似地,可以定义高阶联合概率分布/联合概率密度/联合概率质量函数

（2）统计独立随机过程如果随机过程在不同时刻的随机变量互不影响，则称诸随机变量是统计独立的。统计独立的两随机变量的联合概率分布函数等于它们各自的概率分布函数之积。

要完整地描述一个随机过程,需要知道它的所有随机变量的概率密度函数和所有可能的联合概率密度函数.一般地,不同时刻的概率密度函数是不同的,二维随机变量(xn,xm)与(xn+k,xm+k)的联合概率密度函数也是不同的.（3）狭义平稳随机过程如果满足:称为狭义平稳的随机过程.

概率密度函数与时间变量无关，且联合概率密度函数只与两随机变量间的时间间隔m-n有关，而与时间起点无关的随机过程。例如伯努利过程就是一个狭义平稳随机过程.（4）随机过程的数值特征狭义平稳随机过程的这些参数是与时间无关的常量。（5）相关序列和协方差序列

关系

举例:

CDMA的不同用户是以PN（伪随机码）码来编制的，地址的选择就是用相关性来区分的.正常情况下,CDMA系统各地址码间的互相关性很小,但如果互相关性很大，则多址干扰就越大.要求各PN码之间的互相关系数尽可能小，另外用户越多，PN码的长度就会越长，则在接收端的同步时间也长.（6）狭义平稳随机过程的相关序列和协方差序列

一般情况下，相关序列和协方差序列都是二维序列但是，狭义平稳随机过程的相关序列和协方差序列，却都只是时间差的函数而与时间起点无关，因而都只是一维序列。（7）广义平稳随机过程

均值是常数(与时间无关)、自相关序列只与时间差有关而与时间起点无关的随机过程，称为广义平稳随机过程简称为平稳随机过程或平稳过程。(概率密度函数以及联合概率密度函数与时间起点有关.但统计特性与时间起点无关,只与时间差有关.)

广义平稳随机过程的条件更加宽松,只对统计特性作出规定.而狭义平稳随机过程的条件更加严格,对概率函数作出规定,从而统计特性也会满足要求.

例5.7

随机过程由许多随机变量按一定的时间顺序排列的一个序列,每个随机变量由均值、方差、均方值、自相关函数来描述,都是由统计平均或集合平均计算得到.5.4时间平均要得到无限多个取样序列是不可能的,是不现实的.两个实验(投硬币)设想有无数个人,他们在同一时刻N以完全相同的方式各投掷一枚硬币,所有硬币完全相同.可以预料大约有一半投掷的结果为正面,另一半的人投掷结果为反面.只有一个人投掷一枚硬币,不断地以完全相同的方式投掷无数次.同样可以预料,投掷结果为正面和反面的次数各为一半.对第一个实验求集合平均;对第二个实验求时间平均,两个结果一样.第二个实验更有实用价值.（1）随机过程的一个取样序列的所有取样值的算术平均值，称为随机过程的时间平均值，简称时间平均

（2）取样自相关序列

根据随机过程的一个取样序列，用时间平均定义的自相关序列，称为该随机过程的取样自相关序列，即

（3）遍历性随机过程

如果一个平稳随机过程的集合平均，等于它的一个取样序列的时间平均，则称它是遍历性随机过程。

一般地,在信号处理中,对一平稳随机信号{xn},如果它的所有取样序列在某一确定时刻的统计特性,与它的一个取样序列在长时间内的统计特性一致,则称{xn}是各态遍历性信号.也就是说单个取样序列随时间变化的过程,可以包含该随机信号所有取样序列的取样值.（4）随机过程的均值和自相关序列的估计N尽可能地大5.5相关序列和协方差序列的性质

m00m5.6功率谱（1）平稳随机过程的自协方差序列（或自相关序列）的傅里叶变换（或Z变换）称为功率谱功率密度谱功率谱在一个周期内的平均值等于平均功率逆变换（2）实平稳随机过程的功率谱的性质（1）非负（2）实函数（3）偶函数（3）互功率谱或性质：练习

求均值为零、方差为、自相关序列为的白噪声随机过程的功率谱。练习

求随机相位正弦序列的功率谱是在内均匀分布的随机相位。练习

设随机过程的自相关序列为

求该随机过程的功率谱。前3个例子:功率谱都是实的非负的偶函数5.7离散随机信号通过

线性非移变系统有一冲激响应为的线性非移变系统，它的输入端作用一个平稳随机信号，在输出端得到另一平稳随机信号。1.的均值

2.的自相关序列均值为零、自相关序列只与时间差有关，故输出也是平稳随机过程。3.的功率谱设的均值为零，则的均值亦为零。设在和处各有一个极点和零点，则将在互成共轭倒数关系的位置、和、上有极点和零点。在为实序列的情况下，有如果系统是稳定的，那么如果输入是一个均值为零、方差为的平稳白