连续体的有限元

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟,并利用简单而又相互作用的元素即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统,是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计。1）每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；2）模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；3）单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。

3.1概述第三章连续体的有限元分析有限单元法的特点

把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散点；不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。具有灵活性和适用性，适应性强。在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。3.2选择位移函数的一般原则有限元的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或位移模式。因此，为了得到满意的解答，必须是假定的位移场尽可能逼近弹性体的真实位移形态。如果假定的单元位移场与弹性体的真实位移场完全一致，有限元解便是精确解。如桁架和刚架的单元位移场与弹性杆件的变形是一样的，因而桁架和刚架的有限元解是精确的。而在连续体弹性力学有限元法中，一般找不到真实位移场，所以只能得到近似解。单元的位移函数一般采用以包含若干待定参数的多项式作为近似函数，称为位移多项式。有限项多项式选取的原则应考虑以下几点：1）待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应与单元的自由度数相同。2）对于应变由位移的一阶导数确定问题，选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中常数项和坐标的一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性，但划分的单元趋近于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元应变趋于常应变。而当节点位移是由某个刚体位移引起时，弹性体内不应该有应变，这些特性必须在选择的位移多项式中予以体现。同理，对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数项、一次项和二次项必须完备。3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完整性阶数高的多项式以提高单元精度（称为单元的完备性）。不同节点、不同形状的单元的表达式不同，后续将介绍。3.3收敛性有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。1）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。有限元的收敛条件包括如下四个方面：2）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。3）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。（等效积分的弱形式的体现）4）位移函数在相邻的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。前两条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第三、四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。收敛准则多项式位移模式阶次的选择一、收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元二、多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调满足条件3的单元为协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第1节等直杆单元分析位移列阵由结点位移得设位移模式其中:待定参数为:结点位移表示的位移模式为:形函数矩阵为:1、用结点位移表示单元的位移模式2、用结点位移表示应变和应力第1节等直杆单元分析续13、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵第1节等直杆单元分析续21、分布轴力p(x)的移置第2节等效结点力计算等效结点力——原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力2、分布扭转力矩m(x)的移置3、分布横向力q(x)的移置第2节矩形双线性单元第1节三角形常应变单元第3节六结点三角形单元第4节四结点四边形等参单元第5节八结点四边形等参单元3.4平面问题常用单元第1节三角形常应变单元代数余子式位移模式应变矩阵为常量，单元内应变是常数形函数的性质第2节矩形双线性单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数正方形规则单元正方形单元与矩形单元的关系（无量纲坐标）形函数的性质：本点处值为1，它点处值为0第2节矩形双线性单元(续1)二、应变三、应力平面应力问题第2节矩形双线性单元(续2)四、单元刚度矩阵第3节六结点三角形单元一、位移模式与形函数取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：六结点三角形单元用面积坐标表示的形函数为：二、应变第4节十结点三角形三次单元确定位移模式和形函数取三角形各边三分点和面积坐标相等的内点作为结点——十结点三角形单元。十结点三角形单元等参数的刚度矩阵对一些由曲线轮廓的复杂结构，如果采用直角边单元进行离散，由于用直线代替了曲线，除非网格划分得很细，否则不能获得较高的精度；对另一些应力随坐标急剧变化的结构，采用简单的常应力单元离散时，也必须划分成大量的微小单元，以保证足够的精度。为此引入一种高精度的单元——等参数单元。它既能简化复杂单元划分的工作，又能在满足同样精度的要求时，大大减少使用的单元数。目前流行的大程序中较常用，它成功地解决了许多二维和三维的弹性力学问题。

第5节等参数单元为导出等参数单元的刚度矩阵，首先要建立根据每个单元的形状确定的自然坐标系，然后将位移模式和形状函数都写成自然坐标的函数。一个单元在自然坐标系内的点与单元整体坐标系内的点成一一对应的关系。通过映射，可以将整体坐标系中的图形转化为自然坐标系中的相应图形。例如可以将整体坐标系中的一个任意四边形（实际单元）映射到自然坐标系中成为一个正方形（基本单元）。同样也可以将任意四面体、六面体（包括直边和曲边的）分别映射成正四面体和正六面体。三、导数坐标变换一、形函数与位移模式母单元二、坐标变换与平面八结点形式相同！六、单元刚度矩阵五、应力四、应变七、等效结点力四结点四边形等参单元一、母单元的形函数母单元三、位移模式四边形单元二、坐标变换由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）四、导数的坐标变换其中：收敛准则多项式位移模式阶次的选择一、收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元二、多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调满足条件3的单元为协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第1节等直杆单元分析位移列阵由结点位移得设位移模式其中:待定参数为:结点位移表示的位移模式为:形函数矩阵为:1、用结点位移表示单元的位移模式2、用结点位移表示应变和应力第1节等直杆单元分析续1第2节矩形双线性单元第1节三角形常应变单元第3节六结点三角形单元第4节四结点四边形等参单元第5节八结点四边形等参单元3.4平面问题常用单元第1节三角形常应变单元代数余子式位移模式应变矩阵为常量，单元内应变是常数形函数的性质第2节矩形双线性单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数正方形规则单元正方形单元与矩形单元的关系（无量纲坐标）形函数的性质：本点处值为1，它点处值为0第2节矩形双线性单元(续1)二、应变三、应力平面应力问题第3节六结点三角形单元一、位移模式与形函数取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：六结点三角形单元用面积坐标表示的形函数为：二、应变第4节十结点三角形三次单元确定位移模式和形函数取三角形各边三分点和面积坐标相等的内点作为结点——十结点三角形单元。十结点三角形单元第5节四结点四边形等参单元一、母单元的形函数母单元三、位移模式四边形单元二、坐标变换由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）四、导数的坐标变换其中：3.5空间与轴对称问题常用单元第2节四面体等参数单元第3节八结点六面体等参数单元第1节四面体常应变单元第4节二十结点六面体等参数单元第5节轴对称三角形单元第6节轴对称等参数单元第1节四面体常应变单元一、位移模式与形函数代数余子式四面体单元第1节四面体常应变单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵二、应变矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载第2节四面体等参数单元二、坐标的等参变换四面体单元一、体积坐标三、四面体十结点单元第3节八结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节二十结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节二十结点六面体等参数单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵第4节二十结点六面体等参数单元(续2)八、单元等效结点荷载三棱圆环单元的刚度矩阵机器中许多零件如飞轮、缸体等在几何形状上具有共同点，即它们都是某一平面图形绕平面内某一轴线旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。当回转体承受的载荷和支撑条件相对于该轴线也对称时，分析求解这类零件的应力、应变问题，称为轴对称问题。轴对称问题中，回转体内各点只有轴向和径向两个方向的位移，一个三维问题就简化为二维问题。对这类零件的离散化可以在子午面内进行，最常用的是三角形截面的轴对称单元，简称为三棱圆环单元。第5节轴对称单元1.位移模式及形状函数由于轴对称的特点，不再用直角坐标系（x,y,z）,而用柱面坐标系（r,θ,z）描述物体。物体内任意一点只有沿r和z方向的位移u和w，而无θ方向的位移。当纵剖面上三角形单元(e)的三个节点总码分别为I、j、k时，相应的节点位移向量为与弹性力学平面问题中的三角形单元一样，采用线性位移模式，则与平面问题的推导步骤完全相同，可以得到与平面问题相似的结果：其中形状函数为：2.应变与位移的关系（几何矩阵）轴对称问题中表示应变与位移关系的几何方程与弹性力学平面问题相似，所不同的是：单元内一点在径向产生的位移u，会在圆周方向引起相应的应变。一个半径为r的圆环，周长为2r，环上的各点都沿各自的径向产生位移u后，其圆周长度变成。因此，在圆周方向的应变为由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变和均为零。将应变写成向量的形式，根据上式，可推导出几何方程

其中几何矩阵3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为所以弹性方程为式中应力矩阵弹性矩阵4.单元刚度矩阵与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为在柱面坐标系中，

代入则即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素（如等）是坐标r、z的函数，不是常量。因此，乘积不能简单地从式的积分号中提出。如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐标值代替几何矩阵[B]内的r和z的值。用表示在形心处计算出的矩阵[B]。

其中：只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：

——三角形的面积。由式

可以看出，两轴对称的三角形单元，当形状、大小及方位完全相同而位置不同时，其刚度矩阵也不相同。距离主轴线越远的单元，其刚度越大。这与平面问题不一样。

等效结点力

3.6板的弯曲有限元分析第2节矩形12自由度单元第1节薄板弯曲理论基础第1节薄板弯曲理论基础一、薄板基本假设平板内力二、基本方程第1节薄板弯曲理论基础(续1)第2节矩形12自由度单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数第四章离散分析及复杂单元的实现第一节有限元模型的建立应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和处理这三个方面。对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形状的选择以及网格的安排和布置。1.1单元类型和形状的选择1、单元的类型一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体求解域的几何特点和方程的类型以及求解所希望的精度等因素。根据分析对象的物理属性，可选择固体力学单元、流体力学单元、热传导单元等。在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。2、单元的形状从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和三维单元。一维单元可以是一直线，也可以是一曲线；二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元；三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六面体。具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近似

(不理想结果).节点单元二次近似(接近于真实的二次近似拟合)

(最理想结果)..当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部结果的“形状”，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则的形状，而四边形则比较适合于规则形状。单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网格密度很密也很难达到理想的结果。1.2网格的划分1.网格疏密的合理布置在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采取以下一些措施：1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后进行重分析，直至满足精度要求为止。2、疏密网格的过渡

在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元形状不好而影响局部的精度；2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形式的单元而带来不便；3）采用多节点约束方法过渡。第二节单元划分原则2.1梁、杆单元划分的原则

两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划分：1）杆件的交点一定要选为节点(梯子）；2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；4）集中载荷作用处最好选为节点；5）欲求位移的点要选为节点；6）单元长度最好基本相同。2.2平面单元划分原则1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。2.划分原则：1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单元可大。3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节点。6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。

第三节平面问题的离散化离散化是用一个有限元网格代替给定的区域，进行离散化时，需要选择单元的数目、类型、形状，确定网格的疏密。注意：选择单元形状的一条基本的考虑，就是形成的网格要尽可能准确的代表原来的区域。1.平面问题离散化时的规定1）单元之间只在节点处相连；2）所有的节点都为铰接点；3）单元之间的力通过节点传递；4）外载荷都要移植到节点上；5）在节点位移或某一分量可以不计之处，就必须在该节点安置一个铰支座或相应的连杆支座。(约束)通过以上的规定来建立平面有限元分析模型。2.平面离散化的有关定性的规律1）结构对称性的利用2）划分网格要兼顾精度和经济性3）不连续处的自然分割4）几何形状的近似与过渡圆角的处理5）单元形态的选择6）边界条件的确定7）单元和节点编号1）结构对称性的利用一般来说，作用在对称结构上的载荷系统分为对称的、反对称的和一般的三种情况。（1）结构对称，载荷对称或反对称这种情况下，对称面上的边界条件可按以下规则确定：A.在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和反对称分量。位移u关于ox轴是对称的，关于oy轴是反对称的；位移v关于ox轴是反对称的，关于oy轴是对称的；；B.将载荷也按不同的对称面分别区分为对称分量和反对称分量；C.对于同一个对称面，如载荷是对称的，则对称面上位移的反对称分量为零，如载荷是反对称的，则对称面上位移的对称分量为零。举例：例1：如图a所示为一具有中心圆孔的矩形薄板，在上下两边界上作用有均布载荷，试用对称性建立有限元分析模型。解：ox轴和oy轴是结构的对称面，外载荷对称于ox轴和oy轴，故可取结构的四分之一作为有限元计算模型。不妨取第一象限内的四分之一作为计算模型，如图所示，如果进行图b所示的网格划分，则应进行相应的载荷离散化，下面根据上述三条规则建立对称面上的边界条件。（1）位移u关于ox轴是对称的，关于oy轴是反对称的；位移v关于ox轴是反对称的，关于oy轴是对称的；（2）在ox面上，载荷对称，在oy面上，载荷对称；（3）对ox面，载荷对称，则反对称位移分量v=0，因此，在ox面上只有x方向的移动位移，y方向不能移动，故可用铅锤放置的滚动铰支座表示该对称面上的约束情况；对oy面，载荷对称，则反对称位移分量u=0，因此，在oy面上只有y方向的移动位移，x方向不能移动，故可用水平放置的滚动铰支座表示该对称面上的约束情况；将边界条件移植到节点上，便得到图c所示的有限元分析模型。练习图所示为一具有中心方孔的矩形薄板，在板四边作用均布剪力。试利用对称性建立有限元模型。（2）结构对称，载荷一般的情况如果所分析的结构对称，但载荷是不对称的，也不是反对称的，这时可以将这种结构系统简化成载荷为对称和/或反对称情况的组合，仍可以简化分析过程，提高分析的综合效率。如图a所示，结构对称，载荷一般，可将其载荷分解为图b和图c的组合。图b为对称结构，载荷对x、y轴均为对称，图c为结构对称，载荷对x轴反对称、对y轴对称，此时可取相同的四分之一进行研究，分别施加对称面上节点的边界条件，进行两次分析计算，并将计算结果迭加起来，即可得到原结构四分之一的解答，进而得出整个结构的解答。图2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为

，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为

，同时在

方向相应的两顶点处分别承受大小为

且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为

，泊松比

。试利用对称性，取图（b）所示

结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。（3）对称性利用中的特殊问题利用结构的对称性取某一部分建立有限元模型时，往往会产生约束不足现象。例如，若取上例中图c的四分之一建立有限元时，根据上述分析，在两对称面上应加水平放置的滚动铰支座，因此模型在垂直方向存在刚体位移。对这种约束不足问题，利用有限元分析时，必须增加附加约束，以消除模型的刚体位移。在本例中，垂直方向可以用刚度很小的杆单元或边界弹簧单元连接到模型某节点上，使得既消除了模型的刚体位移，又不致于因附加的杆单元或边界弹簧单元刚度太大而影响结构原有的变形状态。2）划分网格要兼顾精度和经济性在位移函数收敛的前提下，网格划的越密（即单元尺寸越小），计算结果越精确，另一方面，网格越密，单元越多，计算时间和费用将增加，同时也会受到计算机容量的限制。因此划分网格要兼顾精度和经济性。而且，经验表明，当网格加密到一定程度后，再加密网格，精度的提高不明显，这将造成经济上的浪费。合理的网格布局应同结构的应力梯度（应力变化率）相一致。应根据经验或解析法的理论知识，在应力急剧变化（应力梯度大）的区域，单元小些，网格密些，而且网格划分应由密到疏逐渐过渡。以上是对结构的静力分析而言的。如果对结构进行模态分析，一般应选择较为均匀的网格分布。加密网格时一般应遵循以下几点：1.所有以前的网格（粗网格）应包含于当前加密的网格（细网格）中；2.加密网格过程中，单元类型不变，即单元位移函数不变。这就省去了重新推导单元位移函数、单元刚度矩阵、单元载荷向量等麻烦；3.比较网格加密前后的计算结果，如果前后两次的计算结构有较大差异，表明了加密网格的优越性和有继续加密网格的必要性。如果前后两次的计算结果差别很小，表明没有继续加密网格的必要，计算结果已收敛。3）不连续处的自然分割工程结构在几何形状、载荷分布和材料特性等方面存在着许多不连续处。一般情况下，在离散化过程中应把有限元模型的节点、单元的分界线或分解面设置在相应的不连续处。如图所示结构，集中载荷P的作用点A处应设置节点，其优点是不需进行载荷移植，节省了计算时间，提高了计算精度。分布载荷的突变处（B、C、D处）也应设置节点，保证在任一单元的边界上分布载荷是连续的。几何形状有突变的部位应设置单元的分界线或分解面。对于平面应力问题，以厚度突变处作为单元的分界线，以保证每个单元厚度均为常数。对非均质材料，在不同材料的自然分界线上应设置单元的分界线，以保证各单元的物理性质均匀。另外，在几何、载荷和材料性能突变处网格应加密，这是因为场函数在这些地方易产生较大的变化。例如，在凹角处往往产生应力集中，所以在凹角处应取较小的单元。一个网格中，单元尺寸不易相差太大，单元从大到小逐步过渡。为了减少工作量，可以采用局部加密网格的方法。在局部加密区域边界上，前一次网格计算出的节点位移作为本次计算局部加密网格区域上的边界条件。4）几何形状的近似与过渡圆角的处理离散化使结构的边界变成了单元边界的集合，如果用直线单元边界代替结构的曲线边界，将产生结构几何形状的离散化误差。几何形状的离散化误差对机械结构中大量存在的过渡圆角的影响尤为突出。过渡圆角附近一般存在应力集中，而应力集中对过渡圆角几何形状的误差异常敏感，而且过渡圆角处的应力集中一般又是分析研究的目标。因此，在有限元分析中要特别注意过渡圆角几何形状的离散化误差问题。要减少几何形状离散化误差，可以采用较小的单元，较密的网格。但是并非所有过渡圆角均须采取措施，还应考虑应力集中程度、结构分析的目的和要求等因素。如图a所示的槽形结构，共有A、B、C、D四处过渡圆角。静力分析时，由于C、D两处有较大的应力集中，因此，在这两个圆角处应采用较密集的单元网格，而在A、B两处，由于应力梯度小，几何形状误差对计算结果影响不大，因此，可以采用较稀疏的单元网格，静力分析时的网格如图b所示；固有特性分析时，则可采用图c所示较为规则、均匀的网格布局。5）单元形态的选择单元形态包括单元形状、边中节点的位置、细长比等，在结构离散化过程中必须合理选择。一般来说，为了保证有限元分析的精度，必须是单元的形态尽可能的规则。对于三角形单元，三条边长尽量接近，不应出现大的钝角、大的边长。这是因为根据误差分析，应力和位移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比。因而，等边三角形单元的形态最好，它与等腰直角三角形单元的误差之比为sin45°:sin60°=1:1.23。但是为了适应弹性体边界，以及单元由小到大逐渐过渡，不可能是所有的三角形单元都接近等边三角形。实际上，常常使用等腰直角三角形。对于矩形单元来说，细长比不宜过大。细长比是指单元最大尺寸和最小尺寸之比。最优细长比在很大程度上取决于不同方向上位移梯度的差别。梯度较大的方向，单元尺寸要小些，梯度小的方向，单元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，则细长比越接近1，精度越高。有文献推荐，一般情况下，为了得到较好的位移结果，细长比不应超过7；为了获得较好的应力结果，细长比不应超过3。一般情况下，正方形单元的形态最好。对于一般的四边形单元应避免过大的边长比，过大的边长比会导致病态的方程组。6）边界条件的确定确定边界条件是建立有限元模型的重要一环，合理确定有限元模型的边界条件是成功地进行结构有限元分析的基本要求。一般情况下，建模对象的边界条件是明确的。根据力学模型的边界条件可以很容易确定其有限元模型的边界条件。例如电线杆插入地基的一端为固定端，桥梁一端为固定铰支座，另一端为滚动较支座。但是，在机械工程中，建模对象往往是整个结构中的一部分，在建立有限元模型，确定其边界条件时，必须考虑其余部分的影响。这方面主要考虑如下两类问题。1.边界位置的确定在建立连续弹性体局部区域的有限元模型时，往往取该局部区域为隔离体，取其隔离边界条件为零位移约束，并通过试探校正确定零位移边界条件的位置。例如，进行齿轮齿有限元分析时，取一个轮齿的局部区域为隔离体，如图所示，设定PQRS的边界条件为零位移约束，通过改变边界深度PQ和边界宽度PS研究边界位置对齿根最大拉应力的影响，最后确定合理的边界条件。2.边界条件的确定有些分析对象的边界位置是零部件的连接部位。在建立有限元模型时，必须研究如何给定边界位置上的边界条件，以反映相连接结构的影响。确定这种问题的边界条件是用简单支撑连杆替代相连接结构的作用，使替代后结构的系统刚度等价于原结构的系统刚度。如分析机床主轴和传动轴时，可以利用等刚度的杆单元替代轴承和支座的作用，使轴的分析中包含有轴承和支座的影响。7）单元和节点编号当利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求解方程组时，单元节点编号直接影响系统整体刚度矩阵的半带宽，也就是影响在计算机中存贮信息的多少、计算时间和计算费用。因而，要求合理的节点编号使带宽极小化。半带宽的计算公式：半带宽NB=（相邻节点号的最大差值+1）×节点自由度由此，进行网格节点编号时应使网格中相邻节点号的最大差值最小，这样才能保证半带宽最小。试比较下图。图所示网格的四种编号方案中，单元节点标号的最大差值分别为5，3，5，9。显然，图2方案要合理。由此得出结论：沿着短边方向按列-列-列-列地顺序编号比沿着长度方向按行-行-行-行地顺序要合理（半带宽小）如果遇到具有中间节点的单元或空间问题，须借助于带宽极小化的优化程序来对节点重新编号，先进的有限元程序包一般都配备有这样的程序。对单元的编号只影响整体刚度矩阵的装配时间。由于这一时间在有限元运算时间中只占很小的比例，因而对于单元的编号并无特殊的要求。上半个斜带形区中，每行具有的元素个数称为半带宽，用NB表示，可用下式计算：NB=（相邻节点总码的最大差值+1）×节点自由度数对弹性力学平面问题NB=（相邻节点总码的最大差值+1）×2；在半带存储时只需从总体刚度矩阵[K]中取出上半个斜带中的元素存储在图4-13所示的竖带矩阵中即可。图4-12、4-13因为[K]有n×n个元素，有n×NB个元素，所以二者元素之比为NB/n。可见，半带宽越窄，非零元素的个数越少，而进行存储时只需对非零元素进行存储，因此所需内存量越小。1182.（12分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图，试求：(1)对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带宽最小；(2)计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；(3)根据图中结构的边界约束状态，指出那些结点自由度的位移已知并且为何值。题2图解：3

弹性力学平面问题

有限元分析需注意的问题

1单元尺寸

单元尺寸的概念包括两方面：一是单元本身的大小，另一个是指一个单元内自身几个尺寸之间的比率。单元本身的尺寸小，所得到的精度高，但所需的计算量大，所以在应力变化大的区域内，单元尺寸要小，其它区域可稍大些。此外，一个单元中最大与最小的尺寸要尽量接近。例如，三角形单元的三条边长应尽量接近。形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则的形状，而四边形则比较适合于规则形状。单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网格密度很密也很难达到理想的结果。2节点位置

若物体的几何形状、材料性质和外部条件（如载荷等）无突变时，物体应等分成几个单元，节点呈等距分布。若存在不连续性，节点应选在这些突变处。此外还应注意的是划分单元时节点不应该选择在其它单元的边界中部，如图4-16所示。图4-163单元数量

单元数量取决于要求的精度、单元的尺寸及自由度的数量。单元数量大，计算出来的精度就高，但自由度数也大，计算机的内存量有时不够。所以确定单元数量是一定要全面考虑。

4节点的编号

前面提到过，半带宽越窄，所需内存量越小。所以在节点编号是应尽量使带宽达到最小。例如图4-17所示薄板对图（a）所示的编号方法，半宽带NB=(3+1)×2=8,半带存储时的内存量为n×NB=36×8=288；对图（b）所示的编号方法，半宽带NB=(6+1)×2=14,半带存储时的内存量为n×NB=36×14=504。所以节点的编号方式对计算机的内存量有很大的影响。另外，从这个例子也可以看出，对图（a）的情况来说，如果计算时存储总体刚度矩阵[K]中的全部元素，则所需内存为n×n=36×36=1296，这比半带存储所需内存多了近一倍。下面通过一个例题将整个过程再熟悉一遍。5网格的划分1.网格疏密的合理布置在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采取以下一些措施：1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的结果作出误差估计，如果误差超过规定，再由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后进行重分析，直至满足精度要