集合常用逻辑用语,函数与方程,不等式专题

第一部分专题整合篇专题一集合、常用逻辑用语、函数与 导数、不等式第1讲集合、常用逻辑用语基础要点整合一、构建知识网络1．记牢三个概念(1)集合中的元素具有三个性质：无序性、_______和________．元素与集合之间的关系是属于和不属于．(2)四种命题及关系：四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“___________”，否命题是“______________”，逆否命题是“______________”，其中原命题和逆否命题、逆命题和__________是等价的，而且命题之间的关系是相互的．(3)充要条件：若p⇒q，则p是q的__________，q是p的__________；若p⇔q，则p，q互为充要条件．二、梳理基础知识确定性互异性若綈p，则綈q若q，则p若綈q，则綈p否命题充分条件必要条件2．理解四种结论(1)集合的运算性质与结论①A∪A＝___，A∪∅＝____，A∪B＝_______.②A∩A＝___，A∩∅＝____，A∩B＝_______.③A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝_____.④A⊆B⇔A∩B＝___⇔A∪B＝___.(2)“或”与“且”命题的否定命题p∨q的否定是_____________；命题p∧q的否定是_____________．AAB∪AA∅B∩AUAB(綈p)∧(綈q)(綈p)∨(綈q)(3)含有一个量词的命题的否定“∀x∈M，p(x)”的否定为“________________”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“_________________”．(4)命题的真假特点“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)数形结合思想的应用

[考情一点通]考点一：集合的概念及运算考点核心突破题型选择或填空难度容易考查内容集合间关系的判断，集合的交集、并集、补集运算，常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题.[答案]

(1)D

(2)C【拓展归纳】数形结合解答集合问题解答集合问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．1．(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为A．{－1,2}

B．{1,0}

C．{0,1}

D．{1,2}解析阴影部分表示集合B∩(∁UA)，所以B∩(∁UA)＝{－1,2}，选A.答案

A【考点集训】2．(2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}解析

∵A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．答案

D[考情一点通]考点二：命题的真假判断与否定题型选择或填空难度中低档考查内容全称命题、特称命题的否定，含逻辑联结词命题的真假判断，四种命题的关系.[答案]

(1)C

(2)D【拓展归纳】善于推证和举出反例判定命题的真假(1)一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定；(4)全称命题与特称命题的真假的判定：①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立．如果在集合中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可．否则，这一特称命题就是假命题．【易错提示】全称命题与特称命题的否定都必须按照其既定的形式来写，注意两个方面：一是量词的改写，二是性质p(x)的否定．3．(2013·枣庄一模)下列命题的否定为假命题的是A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析

∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1正确，所以D的否定是假命题，选D.答案

D【考点集训】4．(2013·烟台一模)下列说法错误的是A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．命题p：“∃x∈R，使得lg

x＜0”，则綈p：“∀x∈R，lg

x≥0”解析若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，所以C错误，选C.答案

C[考情一点通]考点三：充要条件题型选择或填空难度中低档考查内容充分、必要条件的判定，根据条件的充分必要性求参数的范围，背景选择面很广泛，可与高中数学的任何知识交汇命题.【例3】

(1)(2013·滨州一模)“10a＞10b”是“lg

a＞lg

b”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件(2)(2013·济南一模)“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[自主解答]

(1)由10a＞10b得a＞b.由lg

a＞lg

b得a＞b＞0，所以“10a＞10b”是“lg

a＞lg

b”的必要不充分条件，选B.(2)函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不一定成立，所以“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.[答案]

(1)B

(2)A【拓展归纳】三招解决充分必要条件的判定(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以尝试通过举出恰当的反例来说明；(3)要注意转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．【考点集训】答案

D6．(2013·枣庄一模)“∀n∈N＋，2an＋1＝an＋an＋2”是“数列{an}为等差数列”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析由∀n∈N＋，2an＋1＝an＋an＋2得an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以任意相邻的两项之差相等，所以数列{an}为等差数列，所以∀n∈N＋，2an＋1＝an＋an＋2是“数列{an}为等差数列”的充要条件，选C.答案

C解题规范流程易错警示一对集合中元素的意义不理解及

忽略集合运算中的边界点致误阅卷现场考生甲：考生乙：考生丙：1．(2013·德州一模)设集合A＝{x|x2－5x－6＜0}，B＝{x|5≤x≤7}，则A∩B等于A．[5,7]

B．[5,6)

C．[5,6]

D．(6,7]解析因为A＝{x|x2－5x－6＜0}＝{x|－1＜x＜6}，所以A∩B＝{x|5≤x＜6}，选B.答案

B随堂演练训练高效提能2．(2013·滨州一模)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B等于A．{1,2} B．{2,3,4}C．{3,4} D．{1,2,3,4}解析因为A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以∁UA＝{3,4}，即(∁UA)∪B＝{2,3,4}，选B.答案

B3．(2013·德州一模)命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是A．∀x∈R，x2－2x＝0B．∃x∈R，x2－2x≠0C．∀x∈R，x2－2x≠0D．∃x∈R，x2－2x＞0解析特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是∀x∈R，x2－2x≠0，选C.答案

C4．(2013·临沂一模)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析因为f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，所以若f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，则2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b.若a⊥b，则有a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，所以“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，选C.答案

C5．(2013