人教版2016第一轮复习理科数学概率与统计的综合问题

热点专题突破系列(六)概率与统计的综合问题考点一统计与统计案例【考情分析】以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力.【典例1】(2015·蚌埠模拟)为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对某班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生5女生10总计50已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整.(2)试问:喜爱打篮球与性别是否有关?说明你的理由.【解题提示】(1)由随机抽样的概率,可补充完表格.(2)可利用随机变量χ2确定,因此首先计算χ2的值.【规范解答】(1)列联表补充如下:(2)因为χ2=≈8.333>6.635,所以有99%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050【规律方法】利用独立性检验思想解决问题的步骤(1)依题意写出列联表.(2)依据列联表用公式计算χ2的值.(3)依据χ2的值确定问题的结果.【变式训练】(2015·六安模拟)某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析,其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件,设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件.根据所给数据:(1)写出2×2列联表.(2)试问:产品是否合格与设备改造有关吗?【解析】(1)由已知数据得列联表如下:(2)根据列联表中数据,得χ2=≈12.38,由于12.38>6.635,所以有99%以上的把握认为产品是否合格与设备改造有关.合格品不合格品总计设备改造后653095设备改造前364985总计10179180考点二统计与概率分布列综合【考情分析】以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率以及概率分布列等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例2】(2015·唐山模拟)从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下:(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分.(2)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取3人,记抽到的学生成绩不低于90分的人数为X,求X的分布列和期望.【解题提示】(1)每个区间的中值与对应频率积的和,即为平均值.(2)由题意可知X服从二项分布.【规范解答】(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为:0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92.(2)样本中成绩不低于90分的频率为:0.0150×20+0.0125×20+0.0025×20=0.6,所以从该校高三学生中随机抽取1人,分数不低于90分的概率为0.6.由题意,X～B(3,0.6),P(X=k)=0.6k0.43-k(k=0,1,2,3),其分布列为:X的期望为:EX=3×0.6=1.8X0123P0.0640.2880.4320.216【规律方法】统计与概率分布综合问题的解题思路(1)找概率分布问题中随机变量的统计意义.(2)综合统计中相关图、表、数据明确相关联的随机变量的分布特征.(3)依随机变量的分布特征进一步解决相关问题.【变式训练】(2014·新课标全国卷Ⅰ改编)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2).②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX.附:≈12.2.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=68.3%.②由①知,一件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为68.3%.依题意知X～B(100,0.683),所以EX=100×0.683=68.3.【加固训练】为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛,现随机抽取了某校20名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:(1)若测试成绩不低于90分,则称为“优秀成绩”,求从这20人中随机选取3人,至多有1人是“优秀成绩”的概率.(2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数较多)任选3人,记Y表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求Y的分布列及数学期望.【解析】(1)优秀成绩:4人；设优秀成绩人数为X,至多一人成绩优秀为事件A,P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝(2)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P＝.Y所有可能的取值为0,1,2,3，显然则P(Y＝i)＝EY=Y

0123P考点三期望与方差的综合应用【考情分析】以现实生活为背景,求某些事件的概率分布列、期望值以及方差,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例3】(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123【解题提示】(1)先求出年入流量X的概率,根据二项分布,求出未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)分三种情况进行讨论,分别求出一台,两台,三台的数学期望,比较即可得到.【规范解答】(1)依题意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1.根据二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为=(2)记水电站年总利润为Y,①安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,EY=1×5000=5000.②安装2台发电机的情形:依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得分布列如下所以,EY=4200×0.2+10000×0.8=8840.Y420010000P0.20.8③安装3台发电机的情形:依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15000,因此P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得分布列如下所以,EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.Y3400920015000P0.20.70.1【规律方法】1.求数学期望值的方法(1)求离散型随机变量分布列.(2)利用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn.2.均值、方差意义的应用均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;方差小,说明取值较集中.【变式训练】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望.(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知,得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个随机样本,将频率视为概率得:因此X的分布列为:X11.522.53PX的数学期望为EX＝(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则P(A)=P(X1=1且X2=1)+P(X1=1且X2=1.5)+P(X1=1.5且X2=1).由于顾客的结算相互独立,且X1,X