高二物理竞赛晶体中电子在电场和磁场中的运动课件

第七章

晶体中电子在电场和磁场中的运动处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：v解含外场的波动方程

2

U

r

V

r

y

Eyv在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。条件：外场较弱、恒定，

不考虑电子在不同能带间的跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。2.

二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿GDX（即kx

）轴作出En(0)(k)曲线。取kx

、ky

的单位:

p/a

ME(n0)

k

kx

2n1

ky

2n2

-p/a

在GDX轴上，

ky=0

0

kx

1

E(n

kx

2n1

2

4n221n20)22222222222222222En(0)(k)的单位：

D

kSSSSxxSXZyk相应的波函数:

n1

,

n2

y

0)

n1

,

n2

exp

i

kx

2n1

x

2n2

y

当n1和n2

的绝对值最小时，相应的能量最低。

(（第一布里渊区）0

1

（单） 0,0eikx

x第一近邻倒格点：

n1n2

10

,

01

,

01

,

10

E

kx

22

4

1

（单）00)

n1n2

00E

)

k

相应的波函数：x2000(

1,

0

exp

i

kx

2

x

波函数：波函数：

{

0,

1

exp

i

k

x

2y

E

kx

2

2

4

9

（单）

波函数：

1,

0

Δ

=

exp

i

kx

2

x

第二近邻倒格点：

n1n2

11

,

11

,

11

,

11

E

)

E

kx

22

48

5

（双）10)1000)1(xx

{

0,

1

exp

i

k

x

2y

E

)

E

)

k

4x2100(0(相应的波函数：4

5（双）

1,1

exp

i

kx

2

x

2y

1,1

exp

i

kx

2

x

2y

E

)

E

kx

22

48

13

（双）10)1(101((0,0)13951

1相应的波函数：840{E(n0)(k)LGX

U,K

GEnergy

(eV)X

U,K

GX

U,KLLGGG

N

E

2.

近自由电子的能态密度

kEdS能量为E的等能面是半径为

k

在球面上

k

E

kE(0)

k

2mEh2对于自由电子：的球面

N

E

dS

V

m

4

k2

V

2m

E

CE

在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，

而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。23

4p

3

h2k

p

2p

2

h3考虑周期场影响：EM(0)

<

EM

，EN(0)

»EN，

EM

>

EN考虑周期场影响后，在布里渊区边界面的侧等能面均形成向外突出的凸面。PQ

M考虑周期场的影响：EQ(0)

>

EQ

，

EP

>

EQ在布里渊区边界面的外侧：

对自由电子：

EN(0)=EM(0),在布里渊区边界面的内侧：对自由电子：

EP(0)=EQ(0)EP(0)»EP内侧与外GnQ’M’N0EA

yCAx近自由电子的能态密度近自由电子的等能面kkN(E)当EC

Ⅰ<

EB

Ⅱ

时：有能隙（禁带）当EC

Ⅰ>

EB

Ⅱ

时：出现能带重叠EEC

ⅠEB

ⅡEEB

Ⅱ

EC

ⅠN(E)3.

紧束缚近似的能态密度以简单立方晶格s带为例:Es

k

E0

2J1

coskx

a

cosky

acoskz

a

E

e

J在k=0

，即能带底附近，等能面近似为球面，

随着E的增大，等能面明显偏离球面。0

s

0N(E)在G、X

、M和R点处，ïÑkE

ï=0，称为Van

Hove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。E0–6J1

E0–2J1

E0

E0+2J1

E0+6J1E(Γ)

E(X)

E(M)

E(R)k

1

x

y

zN

E

sin2

kx

a

sin2

ky

a

sin2

kz

a

dS1/21/21/2

1/2

k

E2aJ1

sinkx

a,

sinky

a,

sinkz

a

E

2aJ

sin2

k

asin2

k

asin2

k

a二、

费米面讨论近自由电子的费米面结构:对金属：E

Ｆ

０

>>KBT，在T>0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。在室温下：

k

F

kB

T

T

kB

TF

TF费米半径的相对变化：

kF

kF

T

F10

2