第1章逻辑代数基础

第一章

逻辑代数基础

（续2）1.3逻辑函数的化简掌握逻辑函数的化简方法。基本内容和要求

1.3.1逻辑函数的不同形式与化简逻辑函数的形式多种多样，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示，而每一种函数对应一种逻辑电路。逻辑函数的表达形式通常有五种：与或表达式与非-与非表达式与或非表达式或与表达式或非-或非表达式

例如：与-或式与非-与非式与或非式或与式或非-或非式图1.3.1同一逻辑的五种逻辑图

一个逻辑函数的真值表是唯一的，但同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。

简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复杂的电路。而在工程实践中，总希望电路的结构简单，用较少的逻辑器件实现某一逻辑功能，为此就需要对逻辑函数进行化简或变换，以简化电路、节省器件、降低成本，提高系统可靠性。例如，函数：如果直接由该函数式得到电路图，则如下图所示。图1.3.2F原函数的逻辑图

但如果将此函数化简后变成:F=AC+B则只要两个门就够了，如下图所示。图1.3.3函数化简后的逻辑图对于逻辑函数化简，并没有一个严格的原则，但通常遵循以下几条：(1)逻辑电路所用的逻辑门最少；(2)各逻辑门的输入端要少；(3)逻辑电路所用的级数要少；(4)逻辑电路能可靠地工作。化简逻辑函数时一般先求最简与或表达式。如果工程上需要用其他电路形式实现，再利用前述转换方法求得所需的逻辑函数表达式。化简逻辑函数的主要方法有公式化简法(代数法)、卡诺图化简法以及适用于编制计算机辅助分析程序的Q-M化简法(列表法)等。本课程主要介绍前两种化简方法。1.3.2逻辑函数的公式化简法

公式化简法就是利用逻辑代数中的公式和定理消去函数式中多余乘积项和多余因子，以求得函数式的最简形式。显然，这种方法的基础是熟记并灵活运用所学逻辑代数的公式。公式化简常用方法有：1、并项法

并项法就是利用公式将两项合并成一项，并消去一个变量。而且，根据代入规则可知，A和B均可以是任何复杂的逻辑式。例如：2、消项法就是利用公式：A+AB=A及消去(吸收)多余的乘积项。A和B同样也可以是任何复杂的逻辑式。例如：

(根据多余项公式消去BD，再将展开)3、吸收法利用吸收律A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘积项或多余因子。例如：4、配项法利用重叠律A+A=A、互补律A+A=1和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配项或添加多余项，然后再逐步化简。如：(添多余项AB)(去掉多余项AB)

作业P37、P381.131.141.3.3逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图（KarnaughMap）由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出，故称卡诺图，简称K图。

它是一种按相邻规则排列而成的最小项方格图，利用相邻项不断合并的原则可以使逻辑函数得到化简。这种方法简便直观，是逻辑函数化简的一种常用的比较快捷的方法，尤其适合于输入变量小于5个的逻辑函数化简。1、卡诺图结构在逻辑函数真值表中，输入变量的每一种组合都和一个最小项相对应，这种真值表也称最小项真值表。

卡诺图就是根据最小项真值表按一定规则排列的方格图。卡诺图将逻辑变量分成两组，每一组变量取值组合按循环码规则排列，图中的每一个小方格代表真值表上的一行。因此，真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。

卡诺图的结构特点是需要保证逻辑函数的逻辑相邻关系，即图上的几何相邻关系。为保证上述相邻关系，每相邻方格的变量组合之间只允许一个变量取值不同。为此，卡诺图的变量标注均采用循环码。所谓循环码，是指相邻两组编码之间只有一个变量值不同的编码。对于两变量，4种取值组合按00→01→11→10排列。这里的相邻包含头、尾两组，即00与10也相邻。一个变量卡诺图：有21=2个最小项，因此有两个方格，如图所示：外标的0表示取A的反变量，1表示取A的原变量。二变量卡诺图：有2２=4个最小项，因此有四个方格，如图所示。外标的0、1含义与前一样。三变量卡诺图：有23=8个最小项，其卡诺图如图所示。0BCA01132457600011110四变量卡诺图：有24=16个最小项，其卡诺图如图所示。10ABCD013245761213151489110001111000011110五变量卡诺图：有25=32个最小项，其卡诺图如图所示。7ABCDE0001111011001326548911101415131224252726303129281617191822232120000001011010111101100

从以上分析可以看出，卡诺图具有如下特点：(1)n变量卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。

(2)卡诺图中任何相邻位置的两个最小项都是相邻项。即两个最小项中除一个变量不同外，其他的变量都相同，这两个最小项叫做逻辑上具有相邻性。变量取值顺序按格雷码(循环码)排列，以确保各相邻行（列）之间只有一个变量取值不同，从而保证了卡诺图具有这一重要特点。相邻位置包括三种情况：一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重，即对折起来位置重合。卡诺图的主要缺点是随着输入变量增加图形迅速复杂，相邻项不那么直观。因此，卡诺图只适于表示6个以下变量的逻辑函数。2、逻辑函数的卡诺图表示法若逻辑函数式是最小项表达式，则可在相应变量的卡诺图中直接表示出该函数。如：在卡诺图相应方格中填上1，其余填0。上述函数的卡诺图表示如下图1.3.4所示。图1.3.4逻辑函数用卡诺图表示【例】用卡诺图表示逻辑函数。如果逻辑函数不是最小项表达式形式，则先将逻辑函数变换成最小项表达式，然后再填写卡诺图。卡诺图见下图1.3.5。【例】用卡诺图表示逻辑函数解：图1.3.5上例卡诺图如果给出的是逻辑函数真值表，只要一一对应填入函数值即可，更加方便。实际中，一般函数式也可直接用卡诺图表示。

例：将用卡诺图表示。解：逐项用卡诺图表示，然后再合起来即可。：在B=1,C=0对应方格(不管A，D取值)，得m4、m5、m12、m13，在对应位置填1；：在C=1,D=0所对应的方格中填1，即m2、m6、m10、m14；：在B=0，C=D=1对应方格中填1，即m3、m11；：在A=C=0,D=1对应方格中填1，即m1、

m5；ABCD：即m15。图1.3.5逻辑函数直接用卡诺图表示3、相邻最小项合并规律(1)两个相邻项合并为一项，消去一个取值不同的变量，保留相同变量；(2)四个相邻项合并为一项，消去两个取值不同的变量，保留相同变量；(3)八个相邻项合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量。2个相邻1格合并消去一个变量

ABC01(a)1100011110ABC01(b)1100011110ABC0001111001(c)11ABCD00011110(d)1100011110ABCD00011110(e)11000111102个相邻1格合并消去一个变量

1ABCD00011110(f)100011110(g)ABCD0001111011000111104个相邻1格合并消去两个变量

ABC01(b)111100011110ABC0001111001(c)1111ABCD00011110(d)111100011110ABCD00011110(e)111100011110ABC01(a)1111000111104个相邻1格合并消去两个变量

ABCD00011110(f)111100011110(g)1ABCD0001111011100011110

8个相邻1格合并消去三个变量

A1BC01(a)111111100011110ABCD00011110(b)0001111011111111ABCD00011110(c)1111000111101111

8个相邻1格合并消去三个变量

ABCD0001111000011110(d)11111111ABCDE00011110(e)11111111000001011010110111101100

按以上规律可知，16个相邻项合并的规律。需要指出：合并规律是2n个最小项的相邻项合并，不满足2n关系的最小项不可合并。如2、4、8、16个相邻项可合并，其它均不能合并，而且相邻关系是封闭的，如m0、m1、m3、m2四个最小项，m0与m1，m1与m3，m3与m2均相邻，且m2和m0还相邻。这样的2n个相邻最小项可合并。而m0、m1、m3、m7，由于m0与m7不相邻，因而这四个最小项不可合并为一项。

(4)为1的格都不能漏圈，否则，最后化简出的表达式与所给函数不相等。(5)在不违反(1)~(4)原则下，合并圈应尽可能大，圈的个数尽可能少。圈大，消去变量多，与项中的变量数少；圈的个数少，与项个数也少，这样有利于达到最简。下图1.3.6和图1.3.7是两个例子。图1.3.6圈的面积尽可能大

ABCD00011110111111110000001100011110(a)1ABCD0001111011111110000001100011110(b)图1.3.7圈的个数尽可能少

ABCD00011110110101110011000000011110(a)1ABCD0001111010101110011000000011110(b)(6)允许为1的格重复圈，但每个圈至少应包含1个新的1格。可以重复圈的依据是同一律A＋A=A。但是，如果某个圈中所有1格都已被其他圈圈过，那么这个圈对应的与项是多余项，如图1.3.8所示。图1.3.8每个圈至少应包含一个新的最小项

ABCD00011110010001111110001000011110(a)0ABCD0001111010001111110001000011110(b)

用卡诺图化简逻辑函数时，由于合并最小项方式不同，最后所得到的最简与或式也会不同。这种方法简单直观、容易掌握。但是，如果逻辑变量个数大于5，就会因图形复杂而失去实用意义。4、用卡诺图化简逻辑函数的步骤运用最小项标准式，在卡诺图上进行逻辑函数化简，得到的基本形式是与或逻辑。其步骤如下：(1)将原始函数用卡诺图表示；(2)根据最小项合并规律画卡诺圈，圈住全部为“１”的方格；(3)将全部卡诺圈的结果，“或”起来即得化简后的新函数；(4)由逻辑门电路，组成逻辑电路图。例：化简解第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。

：对应m3、m11对应m4、m5、m12、m13对应m1、m5对应m10、m11本例函数的卡诺图表示

第二步：画卡诺圈圈住全部为“１”的方格。具体化简过程如下图所示。为便于检查，每个卡诺圈化简结果应标在卡诺图上。图1.3.9本例的化简过程

第三步：组成新函数。每一个卡诺圈对应一个与项，然后再将各与项“或”起来得新函数。故化简结果为：第四步：画出逻辑电路。逻辑电路如图1.3.10所示。图1.3.10本例化简后的逻辑图例：化简

解：其卡诺图及化简过程如图1.3.11所示。图1.3.11本例化简过程需要注意的是，在卡诺圈有多种圈法时，要注意如何使卡诺圈数目最少，同时又要尽可能地使卡诺圈大。比较图(a)、(b)两种圈法，显然图(b)圈法优于图(a)圈法，因为它少一个卡诺圈，组成电路就少用一个与门。化简结果应为图(b)，逻辑图如图1.3.12所示。其化简函数为:图1.3.12本例逻辑图例：化简F(ABCD)

解：该函数的卡诺图如下图(a)所示。化简情况如图(b)、(c)所示。图(b)是初学者常圈成的结果，图(c)是正确结果，即:这二者的差别在于图(b)将m6和m14圈为二单元圈。图(c)将m4、m6、m12、m14圈成四单元圈。前者化简结果为BCD，而后者为BD，少了一个变量。图1.3.13本例的化简过程例：化简

解：其卡诺图及化简过程如图1.3.14(a)所示，逻辑图如图(b)所示。化简结果：

此例在圈的过程中注意四个角m0、m2、m8、m10可以圈成四单元圈。图1.3.14本例化简过程及逻辑图例：化简

解：化简过程如图1.3.15(a)、(b)所示，(a)中出现了多余圈。m5、m7、m13、m15虽然可圈成四单元圈，但它的每一个最小项均被别的卡诺圈圈过，是多余圈，此时最佳结果应如图(b)所示。化简结果的逻辑电路图如图1.3.15(c)所示。化简结果:图1.3.15本例化简过程及逻辑图作业P381.151.201.3.4具有无关(约束)项的逻辑函数化简1、具有无关项的逻辑函数逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。如果对于输入变量的每一组取值，逻辑函数都有确定的值，则称这类函数为完全描述的逻辑函数。如果对于输入变量的某些取值组合，逻辑函数值不确定，即函数值可以为0，也可以为1，那么称这类函数为非完全描述的逻辑函数。对应输出函数值不确定的输入最小项（或最大项）称为无关项。具有无关项的逻辑函数就是非完全描述的逻辑函数。

完全描述真值表ABCF00001111001100110101010100010010非完全描述真值表ABCF000011110011001101010101010×1×××在一些应用中，存在以下两种情况：(1)由于某种条件的限制(或约束)使得输入变量的某些组合不会出现或者不允许出现，因而在这些取值下对应的函数值是“无关”紧要的，它可以为1，也可以为0。(2)输入变量的某些组合出现时，输出可为任意值，即这些输入组合所产生的输出并不影响整个系统的功能，因此可以不必考虑输出是0还是1。这样的输入组合所对应的最小项称为无关项(或称任意项、约束项、随意项)。无关项一般用以下方法表示：(1)在真值表或卡诺图中填Φ

或×，表示函数值既可为0也可为1。(2)在逻辑表达式中有两种表示方法：①用∑m(…)表示F中

取值为“1”的所有最小项；用∑d(…)表示函数中的无关项。如：②用约束条件式表示无关项。例如，下式中AB=0是函数F的约束条件，表示必须保证A·B=0，即A和B不同时为1，因此，在卡诺图中对应AB为11的项是无关项。再例如，函数式AB+AC=0表示约束条件时，其含意指：在卡诺图中，对应AB为11的项内，F值应填入“×”，对应AC为11的项内，F值也应填入“×”。对于含有无关项逻辑函数既可表示为：也可表示为：即不允许AB或AC或BC同为1。对于逻辑函数的化简，如果不考虑无关项，则不可再化简，如下图所示。图1.3.16不考虑无关项的化简逻辑函数结果为：

考虑无关项时逻辑函数化简如下图。其结果为：F=A+C图1.3.17考虑无关项函数化简2、具有无关项逻辑函数的化简化简包含无关项的逻辑函数时，应充分、合理地利用无关项，使逻辑函数得到更加简单的结果。化简时，将卡诺图中的×（或Φ）究竟作为1还是作为0来处理应以卡诺圈数最少、卡诺圈最大为原则。因此，并不是所有的无关项都要覆盖。例：化简解：化简过程如下图所示。图1.3.18本例化简及逻辑图例：化简

解：化简过程如下图所示，由于m11和m15对化简不利，因此就没圈进。图1.3.19本例化简及逻辑图例：化简

解：AB=0即表示A与B不能同时为1，则AB=11所对应的最小项为无关项。其卡诺图及化简过程如下图所示。图1.3.20本例化简过程作业P381.181.191.3.5多输出逻辑函数化简多输出函数的方框图例：对多输出函数进行化简。

解：各自的卡诺图和各自化简结果如下图所示。图1.3.21本例各函数独立化简结果

如果将两个输出函数视为一个整体，其化简过程及结果如下图所示。图1.3.22