第二章光腔与高斯光束

第二章开放式光腔与高斯光束

1利用ABCD矩阵分析光腔稳定性2腔与模的关系分析3高斯光束的基本性质4q参数应用1、开腔：F-P腔：最早提出来的平行平面光腔共轴球面腔(b)2、闭腔：介质腔(a)3、气体波导激光谐振腔4、光腔的其它分类

折叠腔、环形腔复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等稳定腔、非稳腔、临界腔§2.1

光腔理论的一般问题一光腔的构成和分类折叠腔环形腔染料调Q装置示意图§2.1

光腔理论的一般问题驻波条件:波从某一点出发,经腔内往返一周再回到原来位置时,应与初始出发波同相二

F-P腔TEMmnq模之纵模——纵模间隔满足谐振条件的各个频率是分立的！§2.1

光腔理论的一般问题

腔精细度F及线宽

：腔线宽自由光谱区（FSR）§2.1

光腔理论的一般问题光学开腔的损耗包括：几何偏折损耗衍射损耗腔镜反射不完全所引起的损耗材料中的非激活吸收、散射、腔内插入的光学元件或其它物体所引起的损耗三光腔的损耗选择损耗非选择损耗1分类§2.1光腔理论的一般问题2平均单程损耗因子定义一：若初始光强为,在腔中往返一次后，光强衰减为，则有：对于多种损耗，则：定义二：单程渡越时光强的平均衰减百分数说明：当损耗较小时，两种定义一致。§2.1

光腔理论的一般问题3光子在腔内的平均寿命（又叫腔的时间常数）t时刻的光强为也可看成腔内光子的平均寿命。物理意义:当时，可见，越大，越短，腔内光子数衰减越快！§2.1

光腔理论的一般问题设t时刻光子数密度为N在t～t+dt内减少的光子数密度为这（-dN）个光子的寿命均为t，N0个光子的平均寿命为§2.1

光腔理论的一般问题4无源腔的Q值定义一:腔内储存的总能量单位时间内损耗的能量定义二:定义三:激光的单模线宽小结：损耗越大，Q值越小。§2.1

光腔理论的一般问题损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗）初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反射往返一周后，其强度应为当r1≈1，r2≈1时，§2.1

光腔理论的一般问题损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01§2.1

光腔理论的一般问题菲涅耳数损耗举例3：（衍射损耗）忽略第一暗环以外的光假设爱里斑内光强均匀§2.1

光腔理论的一般问题例CO2激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、、Q、(设n=1)解：衍射损耗:§2.1

光腔理论的一般问题输出损耗:§2.1

光腔理论的一般问题§2.2

共轴球面腔的稳定性条件一、傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述1、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述(1)坐标描述rqr：光线离光轴的距离：光线与光轴的夹角傍轴光线:tg

sin

正,负号规定：q>0q<0q<0(2)矩阵描述两种描述是统一的！说明：光传输中，r,θ可能发生变化，而变化后的r、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩阵相乘得到。2、自由空间的平移矩阵LABA处：r0，q0B处：r’，q’

则自由空间的平移矩阵为：§2.2

共轴球面腔的稳定性条件3、界面的折射矩阵n1n2入射出射4、球面镜的反射矩阵Tr对于薄透镜有类似的关系§2.2

共轴球面腔的稳定性条件5、共轴球面腔的往返矩阵T一次往返两次自由空间和两次球面镜反射L§2.2

共轴球面腔的稳定性条件其中:6、共轴球面腔中光线往返n次的变换矩阵由Sylvester定理有:其中：§2.2

共轴球面腔的稳定性条件变换矩阵的特点③对于一定结构的球面腔而言是一确定量，②往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发位置、光线往返顺序有关。①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意傍轴光线在腔中的传播行为。而与光线的初始坐标、出发位置和往返次序无关！更进一步，对于共轴球面腔，下式永远成立：§2.2

共轴球面腔的稳定性条件7光学谐振腔的稳定性条件

的rn和θn取值大小，反映的是光线偏离光轴能力的程度当其为有限值，即小于镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。我们讨论φ的取值情况：1)φ为实数a.Tn为有限值的条件为Sinφ不为0φ不等于Kπ即稳定条件§2.2

共轴球面腔的稳定性条件定义谐振腔的g参数稳定条件b.Sinφ=0,Tn为极大值即临界腔§2.2

共轴球面腔的稳定性条件(1)对称共焦腔满足条件Rl＝R2＝L的谐振腔称为对称共焦腔，这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。对称共焦腔满足常见的几种临界腔任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦腔应属于稳定腔。§2.2

共轴球面腔的稳定性条件(2)平行平面腔此时有R1=R2＝∝，

1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光路)．2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。§2.2

共轴球面腔的稳定性条件满足条件R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔，因这时腔的两个镜面的曲率中心互相重合。通过公共中心的光线能在腔内往返无限多次，且一次往返即自行闭合。所有不通过公共中心的光线在腔内往返有限多次后，必然横向逸出腔外。平行平面腔、共心腔可称为介稳腔。(3)共心腔§2.2

共轴球面腔的稳定性条件

当φ值为复数时,由于有虚部,必然导致sinφ与sin(n-1)φ的值随n的增大按指数规律增大。从而使rn、θn的值也随n增大按指数规律增大。傍轴光线在腔内往返有限次后必将横向逸出腔外。2)φ为虚数非稳腔判据或对增益较高的工作物质,非稳腔也能稳定地工作§2.2

共轴球面腔的稳定性条件例、由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为2m，凹面镜曲率半径为3m，腔长L为1m，腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）?当腔内插入一块长为0.5m，折射率的其他透明介质时（介质两端面垂直于腔轴线），谐振腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）?思路：写出传输一周的ABCD矩阵判断？非稳腔§2.2

共轴球面腔的稳定性条件解：设凸面镜与凹面镜的曲率半径分别为，当腔内未插入其他透明介质时即该腔为临界腔

当腔内插入其他介质时，设该介质的长度为l，该介质卓有两边剩余的腔内长度分别为l1和l2，则。设此时的等效腔长为，则§2.2

共轴球面腔的稳定性条件在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随时间变化的稳态场分布?如何求场分布?§2.3

开腔模的衍射理论分析方法一、开腔模的一般物理概念1、理想开腔模型两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。2、定量处理开腔模式问题的数学理论：菲涅耳—基尔霍夫衍射积分功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相仿分布。1、分析衍射的理论基础：惠更斯—菲涅耳原理2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分各子波源发出的球面波倾斜因子§2.3

开腔模的衍射理论分析方法3、稳态场的形成——模的“自再现”镜1上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大。每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化。多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影响的稳态场分布。该稳态场分布一个往返后可“自再现”出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点相位滞后的整数倍。§2.3

开腔模的衍射理论分析方法4.用孔阑传输线模拟自再现模的形成过程完全吸收屏腔长腔镜滤光片§2.3

开腔模的衍射理论分析方法1、只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的场分布，成为自再现模。5自再现模的几点理解2、衍射起“筛子”作用，将腔中允许存在的自再现模从各种自发辐射模中筛选出来。3、自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无关，但不同的初始波形最终形成的场分布不同，而自发辐射可提供不同的初始波形,因此决定了自再现模的多样性。4、每经过一次衍射，光束横截面上各点的相位关联度便增加一次，则由于经过足够多次衍射的作用后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密，从而使光的空间相干性变强。§2.3

开腔模的衍射理论分析方法S1S2经过j次渡越后所生成的场uj+1产牛它的场uj之间也应满足类似的迭代关系：二、自再现模所应满足的积分方程§2.3

开腔模的衍射理论分析方法按照自再现理论，当渡越次数j

足够大时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的复常数因子

以外，uj+1应该再现uj，则：复常数的物理意义e-

：单程渡越的振幅衰减！越大，则衰减愈厉害，若0，则模无损耗传播。§2.3

开腔模的衍射理论分析方法表示每经单程渡越后模的相位滞后，愈大，相位滞后愈多。(1)对称开腔中模的单程损耗δd：自再现模单程渡越后的相对功率损耗。(2)对称开腔中模的单程总相移δФ若满足：一般的谐振条件§2.3

开腔模的衍射理论分析方法代入迭代关系得则不受衍射影响的稳态场分布函数v(x,y)为：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法积分核为：当腔长L和镜线度a满足：L>>a，或曲面反射镜的曲率半径R和镜线度a满足：R>>a时，有：则初步简化后的自再现模方程为：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法三、分离变量法1、求解自再现模方程的思路(1)由开腔的具体结构，给出方程的具体形式并做简化具体做法：由对称性引入适当坐标系由λ

、a、L的数量级关系，将积分核做泰勒展开舍去展开式中的小量，从而将方程简化(2)进行变量分离，将化简后的积分方程化为两个单元函数的积分方程。§2.3

开腔模的衍射理论分析方法2、可行性分析研究表明，对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面或抛物面腔和一般球面镜腔等几种常见的几何结构，以上的简化和变量分离是可能的！3、方程简化和分离变量的事例分析(1)对称矩形平面镜腔(2a×2b)数量关系：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法若满足：可做菲涅耳近似：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法则模方程变为：分离变量，令：则积分核为：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法模方程变为两形式完全一样的方程，求一个即可：方程的解有多个，其中第m和第n个分别为vm(x)和vn(y)，m和n为相应的复常数，则：——积分本征值方程镜面上的场分布为：相应的复常数为：§2.3

开腔模的衍射理论分析方法m和n取一系列特定值——本征值。对应本征值m和n的满足方程的场分布函数vm(x)和vn(y)为本征函数。本征函数：决定镜面上的场分布，包括场的振幅和相位分布。本征值：决定自再现模的传输特性，包括模的衰减、相移、谐振频率等。镜面上场的振幅分布。镜面上场的位相分布。求解衍射积分本征值方程的目的意义：求出本征值和本征函数，从而决定开腔自再现模的全部特征。§2.3

开腔模的衍射理论分析方法§2.4

平行平面腔模的迭代解法能解析求解积分本征值方程的开腔是很少的，此时可以利用腔模的“自再现”理论，通过计算机进行数值求解，称为腔模的Fox-Li迭代解法。一、迭代解法的原理利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式设初始场分布为u1，代入上式算u2，再以u2作初始场，再代入上式算u3，以此类推，迭代多次后，若满足自再现关系：则说明找到了腔的一个自再现模！代入前面的平行平面镜腔的衍射积分方程：可以取出经过多次迭代后的场振幅分布和位相分布并作比较。二、迭代举例:对称条形平行平面镜腔:宽:2a，腔长:L设初始场分布为均匀平面波:§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————初始化—————————————lm=632.8e-9;%波长L=100*lm;%腔长a=25*lm;%腔镜线宽k=2*pi/lm;%波失x1=linspace(-a,a,1000);%取1000个点积分Un_n=zeros(1,1000);Un_n_1=Un_n;§2.4

平行平面腔模的迭代解法%———求解第一次的迭代结果——————form=1:1000x=x1(m);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L));Un_n(m)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-i*k*L))*sum(y(1:1000));end§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————对第一次的归一化————a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);%求解振幅yabsmax=max(a);%振幅最大值Un_n=Un_n/yabsmax;%归一化Un_2=a/yabsmax;%振幅归一化Yn_2=angle(Un_n);%相位分布§2.4

平行平面腔模的迭代解法form=1:299forn=1:1000x=x1(n);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L)).*Un_n;Un_n_1(n)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-

i*k*L))*sum(y(1:1000));endUn_n=Un_n_1;§2.4

平行平面腔模的迭代解法a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);yabsmax=max(a);Un_n=Un_n/yabsmax;endUn_300=a/yabsmax;Yn_300=angle(Un_n);§2.4

平行平面腔模的迭代解法%————迭代第300次重复第一次过程——forn=1:1000x=x1(n);y=exp((-i*k*(x-x1).^2)/(2*L)).*Un_n;Un_n_1(n)=sqrt(i/(pi*L)*exp(-i*k*L))*sum(y(1:1000));endUn_n=Un_n_1;§2.4

平行平面腔模的迭代解法a=zeros(1,1000);a=abs(Un_n);yabsmax=max(a);Un_n=Un_n/yabsmax;Un_301=a/yabsmax;Yn_301=angle(Un_n);§2.4

平行平面腔模的迭代解法%—画出振幅特性—figure;plot(Un_2);holdon;plot(Un_300,'r');holdon;plot(Un_301,'g');%—画出相位特性—figure;plot(Yn_2);holdon;plot(Yn_300,'r');holdon;plot(Yn_301,'g');§2.4

平行平面腔模的迭代解法镜面振幅分布图§2.4

平行平面腔模的迭代解法§2.4

平行平面腔模的迭代解法镜面位相分布图§2.4

平行平面腔模的迭代解法三、迭代解法的意义1、直接而直观地证明了开腔自再现模式的存在性。2、因数学迭代的过程与自再现模的形成过程对应，因而迭代解法可以加深对自再现模形成的物理过程的理解。3、具有普遍性。原则上可以计算任何几何形状的开腔的自再现模。4、可计算腔镜的倾斜、不平整等对模造成的扰动。缺点：计算复杂，迭代次数多。§2.4

平行平面腔模的迭代解法§2.5

方形镜共焦腔的自在现模

1、厄米－高斯近似：当C=2N1或模场分布集中在镜面中心附近(x,y<<a)时，角向长椭球函数化为厄米－高斯函数。厄米多项式和高斯函数的乘积换回x,y可得本征函数为：一镜面上场分布—厄米－高斯近似§2.5

方形镜共焦腔的自在现模常系数m阶厄米多项式的零点:因Hm(X)=0有m个根，故m阶厄米多项式有m个零点。厄米多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓§2.5

方形镜共焦腔的自在现模基模TEM00光斑半径：

基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内.上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。基模振幅最大值的1/e处§2.5

方形镜共焦腔的自在现模数值例：L=1m,λ=10.6μm,共焦腔的CO2激光器ω0s≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器

ω0s≈0.25mm

可见，共焦腔的光斑半径非常小。由

可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑尺寸并无影响.§2.5

方形镜共焦腔的自在现模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：

当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布因为故§2.5

方形镜共焦腔的自在现模因为故TEM20§2.5

方形镜共焦腔的自在现模因为故§2.5

方形镜共焦腔的自在现模因为故TEM11§2.5

方形镜共焦腔的自在现模可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数