第一章轴向拉伸和压缩

第一章轴向拉伸和压缩§1-1工程实际中的轴向拉伸和压缩问题§1-2拉伸和压缩时的内力§1-3截面上的应力§1-4拉伸和压缩时的变形§1-5拉伸和压缩时材料的力学性能§1-6拉伸和压缩时的强度计算§1-7拉伸和压缩超静定问题§1-8应力集中的概念§1-9变形能的概念§1-1工程实际中的轴向拉伸和压缩问题

拉伸或压缩杆件大多数是等截面直杆，其特点是：

一、受力特点在杆两端受一对大小相等、方向相反的力，力的作用线与杆的轴线重合，若两端的两个力向外，则是拉伸，向内则是压缩；

有一些杆受到两个以上的轴向外力作用，仍属于拉压杆。二、变形特点杆件沿轴线方向伸长或缩短。§1-2拉伸和压缩时的内力

一、内力的概念定义：所研究物体内部一部分对另一部分之间的作用力。

特点二、轴力和轴力图轴力:

作用线与杆件轴线重合的内力。轴力背离截面时称为轴向拉力，规定为正值，指向截面时称为轴向压力，规定为负值。同一截面两侧的轴力大小相等，符号相同。N'NPPPP轴力N(N')的符号为正N'NPPPP轴力N(N')的符号为负轴力图:

在平面坐标系用横坐标表示杆件横截面位置，纵坐标表示轴力大小，并标明其符号的图形。三、截面法1.概念：用任意一截面假想地把杆件截成两个单元体，以显示并确定内力的方法。2.步骤截：欲求某一截面的轴力，就假想用一截面把杆截成两个单元体，取其中的一个单元体为研究对象，移去另一个单元体；代：用轴力代替移去单元体对保留单元体的作用，一般假定其符号为正(即拉向轴力)；平：建立平衡方程，由已知外力确定未知轴力。

3.【例1-1】求杆的轴力并画出轴力图NABAPA=PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=P【解】1)根据载荷“突变”情况，采用截面法从左至右分段列平衡方程求各段的轴力:

AB段:

BC段:

NBCAPA=PBPB=2PAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PEPE=PCD段:

DE段:APA=PBPB=2PCPC=4PNCDAPA=PBPB=2PCPC=4PDPD=2PNDE2)画轴力图:ABCDE+−+单元体上背离截面的外力在截面上产生正的轴力，指向截面的外力在截面上产生负的轴力;轴力的大小等于外力的大小;截面上总的轴力等于单元体上的所有外力单独作用产生的轴力的代数和。P3PPP§1-3截面上的应力

一、应力的概念ΔAΔNΔTΔPσ

τ

p内力在截面上的密集程度称为应力。即：将ΔP沿截面分解成法向内力ΔN和切向内力ΔT

。称为正应力，它垂直于截面，并规定拉应力为正值，压应力为负值。称为剪应力，并规定使单元体绕其上任一点顺时针转的为正，反之为负。σσ+σσ-ττ+ττ-PP单位：国际单位为帕[斯卡]，简称帕，用表示Pa。其常用单位有兆帕(MPa)、吉帕(GPa)等。换算关系：二、横截面(与轴线垂直的截面)上的应力取等截面直杆作拉伸实验。

拉伸前:

ab、cd为直线且均垂直于轴线。abcda'b'c'd'拉伸后:a'b'、c'd'仍为直线且均垂直于轴线，a'b'与c'd'间距离变大，杆变细。

1)变形前的横截面，变形后仍保持为垂直于杆轴的平面，即平面假设。2)任意两横截面间纵向纤维伸长量(或缩短量)是相等的，即应力是均布的。故：PPabcd§1-4拉伸和压缩时的变形

一、绝对变形和相对变形1.拉压试验引起杆件尺寸变化情况Pl1d1ldP拉伸试验绝对变形PP压缩试验绝对变形2.相对变形(线应变)——纵向线应变，无量纲，拉伸为正，压缩为负。

——横向线应变，无量纲，拉伸为负，压缩为正。ldl1d13.泊松比μ

当拉压杆件的应力不超过材料比例极限时，横向线应变ε'与纵向线应变ε之比为一常数，其绝对值称为泊松比，用μ表示。

即：或二、虎克定律即：构件的应力未超过材料的比例极限时，其应力与应变成正比。E—材料的弹性模量，与应力量纲相同。虎克定律的另一表达式EA—构件的抗拉(压)刚度若构件在第i段标距li内Ei、Ai、Ni为常数，则变形为若构件E(x)、A(x)

、N(x)为截面位置x的连续函数，则变形为：§1-5拉伸和压缩时材料的力学性能

这里仅研究材料在常温静载下的机械性质。

一、低碳钢拉伸时的力学性能1.标距l0：试样中段用于测量拉伸变形的部分。

2.试样技术要求：对圆截面试样要求其标距满足l0=10d0或l0=5d0

。l0d03.拉伸实验图ABσPσfOσε弹性阶段ＯAＢ段特征：在OAB段任何处御除载荷后，曲线能沿原路返回。其中OA段为一直线，即应力与应变成正比，比例系数为弹性模量E，且E为直线OA的斜率；与A点对应的应力称为比例极限，即是材料应力与应变成正比的最大应力。

应力超过比例极限时，应力与应变不再成正比关系即AB段是微弯曲线。B点对应的应力称为弹性极限。

CDσs(不连续)屈服阶段BCDE段特征：在过B点至试样断裂的整个过程的任何地方卸除载荷后曲线均不能沿原路返回，只能沿与OA平行的直线返回。试样表面将出现与轴线成45º左右的滑痕，材料发生永久变形称为塑性应变。如果此时再加载，曲线将沿与OA平行的直线上升至原卸载点。

过B点后变形增加较快而应力增加不显著，对应于C点的应力称为上屈服点。过C点后不计初始瞬时效应时的最低点D称为下屈服点。从D点后曲线上将出现近乎水平的微小波动段。一般取D点对应的应力为屈服极限。ABσPσfOσεE强化阶段EFG段特征：与弹性阶段相比，应力增加缓慢，变形增加较快，变形大部分属于塑性变形，曲线最高点G对应的应力称为强度极限。如果此时卸载，曲线将沿FO1下降，再加载，曲线将沿O1F上升，比例极限和塑性极限都将增大，该过程称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后可消除。

FGσbO1EABCDσPσfσsOσε局部变形(颈缩)阶段GH段ABCDFEGσPσf

σsO1σbOσεHO2δ特征：过G点后，变形集中在试样的薄弱地方，横向尺寸急剧缩小，出现“颈缩”现象，虽然曲线下降但由于横截面尺寸较名义值变小，实验证明颈缩截面上的实际应力却是一直在增加，最后沿横截面断裂。

此时的残余应变OO2(δ)称为延伸率。4.延伸率δ与截面收缩率ψ

延伸率与截面收缩率反映材料塑性性能指标。

延伸率l0——试件原来的标距段长度。

l1——试件拉断的标距段长度。n——试样标距直径比。截面收缩率A0——试件原来横截面积。A1——试件断裂后断口处的横截面积。一般称δ≥5％的材料为塑性材料，如低合金钢、碳素钢、青铜等；δ<5％的为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。二、其它材料拉伸时的力学性能

低合金钢、碳素钢、青铜等塑性材料，其σ-ε曲线特征

有明显弹性阶段，延伸率较大，没有明显屈服阶段(即连续屈服)，直接由不太明显的直线部分过渡到曲线部分。对这些没有明显屈服阶段的塑性材料，国家标准规定，取对应试样产生0.2℅塑性应变时的应力值作为屈服极限，称为名义屈服极限。以σ0.2表示。σ0.20.2%σεO铸铁等脆性材料σ-ε曲线特征

无明显屈服阶段，也无颈缩现象，当变形很小(σ仅为0.4%～0.5%)时就达到强度极限，试件沿横截面断裂。三、材料压缩时的力学性能

金属材料压缩时试样通常做成短圆柱形，其高度与直径之比为1.5~3.0；混凝土、石料等一般做成立方体。低碳钢等塑性材料压缩时的力学性能

特征：应力在屈服极限以内时，与拉伸时得到的各种技术指标完全相同。在屈服以后，试样将产生显著塑性变形，试样愈压愈扁，受压面积不断增大，抗压能力继续提高，无法测定其强度极限。Oεσ拉伸压缩铸铁等脆性材料压缩时的力学性能

特征：与拉伸时σ-ε曲线相似，有一定的塑性变形，在小变形时突然破坏，破坏截面大约成45º；强度极限与延伸率都比拉伸时大得多，是抗拉强度的4~5倍。Oεσσbtσbc*四、影响材料力学性能的主要原因

1.温度

低碳钢在短期静载下机械性能总趋势是随温度升高，σs(塑性极限)、σb(强度极限)和E都下降，而δ(延伸率)、ψ(截面收缩率)增加，说明材料强度降低而塑性增加，但在300℃以前反而增大而δ减小。在低温情况下，碳钢的σf(弹性极限)和σb(强度极限)都有提高，但延伸率则相应降低。表明碳钢在低温下强度提高而塑性降低，倾向于变脆。2.工作时间

蠕变：载荷不变而变形随时间不断增加的现象。应力松弛：总变形不变而应力随时间而降低的现象。3.加载速度

一般塑性材料，常温下加载速度增加，σs、σb将增大而δ减小，塑性材料在低温状态下受冲击载荷，就会变脆。§1-6拉伸和压缩时的强度计算

即一、许用应力和安全因数

1.极限应力：构件产生过大塑性变形或断裂的应力称为极限应力。用σu表示。对塑性材料：

σu=σs或σu=σ0.2

对脆性材料：σu=σb2.许用应力：杆件拉伸或压缩时允许达到的最大应力，用[σ]表示，称为许用正应力。n>1——安全因数

对塑性材料：对脆性材料：ns、nb分别为按屈服极限和强度极限规定的安全因数，一般地ns<nb。*3.影响安全系数的因素确定安全系数一般应考虑的因素:材料的均匀程度；载荷估计的准确性；计算方法方面的简化和近似程度；构件加工工艺，构件工作条件；构件的重要性。一般在常温静载情况下，塑性材料的安全系数ns=1.5~2.0，脆性材料安全系数nb=2.5~3.0。二、强度计算

1.强度条件:

σ——杆件横截面上的工作应力；N——横截面上的轴力；A——横截面面积；[σ]——材料的许用应力。2.应用

强度校核设计截面：最大工作应力是否超过材料的许用应力。求许可载荷：

3.例题

【例1-2】图示等厚度直杆，BC段加工有一槽。已知：弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=220MPa，l=200。尺寸单位为mm，力的单位为kN。1)作该杆的轴力图；2)计算伸长量lAE；3)校核杆的强度。【解】1)根据杆上的载荷“突变”情况分段画轴力图：20

kN10

kNCDEAB+−10102010llllABCD103020E2)计算伸长量lAE

3)校核强度因故该杆安全。【例1-3】图示结构中，圆杆AB直径dAB=30mm，许用应力[σAB]=120MPa，圆杆BC直径dBC=20mm，许用应力[σBC]=160MPa，不考虑结构自重。(1)求其所能承受的最大载荷W？(2)若载荷的最大值W=100kN，求两杆的最小直径。【解】1)设AB杆、BC杆的内力如图示。ABC60°WNBC60°WNAB2)AB杆、BC杆能承受的最大载荷：故最大载荷为73.5kN。3)AB杆、BC杆的最小直径：【例1-4】图示蒸气机气缸内径D=560mm，蒸汽压力p=2.5MPa，活塞杆直径d=100mm，许用应力[σ]=76MPa。气缸和缸盖用螺栓连接，螺栓内径d1=30mm，许用应力[σt]=60MPa。校核活塞杆强度并计算缸盖所需螺栓个数n。Dppd1d【解】1)校核活塞杆强度DdppN活塞杆的工作应力为：2)计算螺栓个数n

螺栓在工作中受拉伸，总拉力等于气缸盖所受的总推力P，则每个螺栓的轴力。由螺栓的强度条件得：ppd1dDN1【例1-5】图示均质正圆锥台密度为ρ，高为h，上、下底面直径分别为d、D。写出其在自重作用下的轴力、应力和变形公式。xdxhdxN(x)N(x)+d

N(x)【解】取单元体作受力分析设x横截面变形为Δ(x)，(x+dx)横截面变形为:Δ(x)+d(Δ(x))由线应变的定义得：由虎克定律得：dxΔ(x)Δ(x)+d(Δ(x))§1-7拉伸和压缩超静定问题

一、相关概念

静定问题：

能用静力平衡方程完全求解的问题。超静定问题：未知力个数多于独立的静力平衡方程数目，仅仅根据平衡方程尚不能全部求解的问题。超静定次数：未知力个数与独立方程个数之差。该差为一则为一次超静定，为二则为二次超静定等。二、超静定问题的解法

平衡方程：静力学平衡方程；物理方程：变形与内力等的关系；变形协调方程：指保持结构连续的变形几何条件。这是重点和难点。【例1-6】图示结构中杆1和杆2的抗拉刚度为E1A1，杆3的抗拉刚度为E3A3，求各杆件的内力。【解】1)以节点O'为研究对象。2)物理方程。3)变形协调方程。4)求解。Δl3123ααOPΔl1PO'θθδΔlll由所求结果知：超静定问题中杆件内力(或构件约束反力)不仅与载荷有关，还与杆件的抗拉(压)刚度有关。【例1-7】已知杆AB、AC、DE的长度为LAB、LAC、LDE，杆AB、AC的抗拉刚度为EABAAB、EACAAC。求杆AB、AC的内力。A【解】1)静力平衡方程。NABPECBβαDFDxFDy2)物理方程。3)变形协调方程。4)解方程得：DBCEB’C’E’AαβNAC三、装配应力、温度应力装配应力

在超静定结构中，构件由于制造的几何误差，装配成结构后虽然未承受外载荷，但在各构件中也存在内力。这种内力引起的应力称装配应力。计算装配应力的关键在于根据变形协调条件建立变形几何方程。【例1-8】图示结构中杆1和杆2的抗拉刚度为E1A1，杆3的抗拉刚度为E3A3，制造误差为Δ。求各杆装配内力。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ【解】1)以节点O'为研究对象，建立方程：2)物理方程。3)变形协调方程。4)求解。【思考】装配好后若在O'点垂直向下作用一力P，该如何求各杆件的内力？【答】令平衡方程右边等于P即可。ααO'13O0O2Δl1Δl3Δ温度应力在超静定结构中，构件的长度互相牵制，不能自由收缩，因此温度变化将导致各构件的长度的变化，使得构件产生内力，这种内力称为温度内力。由温度内力引起的应力称为温度应力。计算温度应力的关键在于根据变形协调条件建立变形几何方程和写出正确的物理方程。【例1-9】图示结构中杆1和杆2的抗拉刚度为E1A1，线膨胀系数为α1=α2，杆3的抗拉刚度为E3A3，线膨胀系数为α3。设升温为ΔT，求各杆的温度内力。Δl3123ααOΔl1O'【解】1)以节点O'为研究对象，建立静力平衡方程：Δl3123ααOΔl1O'2)物理方程。设二力杆1、杆2受压，杆3受拉，则变形满足：——由温度升高和压缩内力引起的变形——由温度升高和拉伸内力引起的变形3)变形协调方程。4)求解。杆1、杆2受压，杆3受拉的假定成立与否由的符号确定。【思考】若在O'点垂直向下作用一力P，该如何求各杆件的内力？【答】令平衡方程右边等于P即可。【思