第3章连续时间信号与系统的频域分析

第3章连续时间信号与LTI连续时间系统系统的频域分析3.1周期信号的傅里叶级数(FS)3.2傅里叶变换(FT)3.3LTI连续时间系统的频域(FT)分析3.1周期信号的傅里叶级数(FS)3.1.1三角函数形式的FSp48其系数公式为也可以写成另外一种形式的三角函数形式FS展开式：注

狄里赫利（Dirichlet）条件是：（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号满足绝对可积。3.1.2指数函数形式的FSp49

两种形式FS系数的关系3.1.3周期信号的频谱p511.单边频谱:将周期信号展开成三角函数形式FS

（a）单边幅度频谱

（b）单边相位频谱图3-1周期信号的单边频谱kAw005w010w0wtp2tp4w005w010wp2-0w2、双边频谱p51若周期信号fT(t)的指数形式傅里叶展开式为：称：005w010w05w-010w-0w（a）双边振幅频谱wtp2tp4tp4-tp2-kqw005w010wp2-p20w05w-010w-（b）双边相位频谱图3-2周期信号的双边频谱3、周期信号频谱的特点p51（1）频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。（2）频谱的每条谱线都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。（3）幅频特性的变化趋势是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即幅度频谱具有收敛性。简记为:离散性.谐波性和幅频特性收敛性。3.1.5周期信号的频带宽度p51图3-3周期矩形脉冲信号的波形

02t2t-TT-)(tftE……若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级数，则可得：

00wtp2-tp4tp2akwTEt图3-4周期矩形脉冲信号的频谱52E0tp2tp4w1wt)(tftET2Tt)(tftETkA5Etp2tp4w0图3-5不同值下周期矩形脉冲信号的频谱(b)T=10τ

t)(tftETTtp2tp452EkA0w1w(a)t)(tftET2TkAtp25Ew01w(b)图3-6不同值下周期矩形脉冲信号的频谱3.2傅里叶变换(FT)p513.2.1

FT的引入p513.2.2FT的定义p53傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的充分条件是：信号的频谱典型信号的傅里叶变换1．门函数（矩形脉冲）

（a）门函数

（b）门函数的频谱图3-7门函数及其频谱1t02t-2twtp4t0tp2tp2-2、单边指数函数设单边指数函数的表达式为：即：其振幅频谱和相位频谱分别为：（a）单边指数函数

)(wFaAw)(wj02p2p-（b）单边指数函数的频谱图3-8单边指数函数及其频谱3、单位冲激函数根据傅里叶变换的定义，下图给出了单位冲激函数及其频谱

（a）单位冲激函数

（b）单位冲激函数的频谱图3-9单位冲激函数及其频谱0w14、直流信号设直流信号：它不满足绝对可积条件，因此不能用傅里叶积分式求傅里叶变换。根据对称性，可得：w0(w)F)2(Ap

（a）直流信号

（b）直流信号的频谱图3-10直流信号及其频谱3.2.3傅里叶变换的基本性质p551、线性特性p552、时移特性p563.频移特性p57推论：调制定理Apτ(t)2t-02ttAtAF[pτ(t)]w0tp2tp2-（a）门函数及其频谱（b）高频脉冲信号及其频谱

图3-11高频脉冲信号的频谱y(t)=Apτ(t)costw0t

2t-2tAt2tA(jw)Yw0tpw20-0w-0wtpw20+4、尺度变换特性p59（a）（b）（c）图3-12尺度变换性质的说明5、对偶性p6021t)(212tp01-11w)(wSa0pp-（a）门函数及其频谱t1)(tSa0pp-p)(2tpp01-1w（b）抽样函数及其频谱

图3-136、FT的卷积特性p62（1）时域卷积定理证明：交换积分次序[证毕]2t-2t1tf1(t)=pτ(t)02t-2t1tf2(t)=pτ(t)00tttt-f(t)=f1(t)*f2(t)=*（a）时域卷积运算tt（b）频域相乘运算图3-14FT时域卷积特性tw0tp2tp2-tw0tp2tp2-2tw0p2p2-磢=（2）频域卷积特性（a）时域相乘运算0000（b）频域卷积运算图3-15FT频域卷积特性╳=1-2t-02tt1t0coswLLt1tty0cos)(w=2t-2t1t1-*=tw0tp2tp2-ww-w[]t0coswF2tw0w-0w)(p)(p7、时域微分和时域积分p64（1）时域微分特性证明：（2）时域积分证明：

（a）门函数（b）门函数的积分图3-16

FT时域积分特性2t-02ttt12t-02tt19、频域微分特性p728.周期函数的FTp67证明：)1()1()1()1()1()1()1(0)(tTdTT-2T3T2T-3T-LLt)(0ww00w-0w[])(tTdF)(0w)(0w)(0w)(0w02w02w-LL

（a）周期单位冲激序列

（b）周期单位冲激序列的频谱

图3-17均匀冲激串的FT1t)(tfT02t-2t1T1T-LLw[])(tfTF00w0w-tw0

（a）周期矩形脉冲

（b）周期矩形脉冲的频谱图3-18方波串的频谱*10、实虚奇偶性（2）*11、能量定理3.2.4有理真分式的部分分式展开p723.3LTI连续系统的频域分析3.3.1LTI连续时间系统的频率响应

p76

2、、h(t)的关系p773.3.2LTI连续时间系统的频域分析p781.用FT法求LTI连续时间系统的零状态响应

（a）矩形脉冲信号（b）RC电路图3-19（a）矩形脉冲信号及其幅频特性曲线tw0tp2tp2-2t-2t1t)(tx0（b）RC低通电路的冲激响应及其幅频特性曲线

0wte-1t)(th01（c）RC低通电路的响应及其幅频特性曲线图3-20矩形脉冲信号通过RC低通电路tw0tp2tp2-2t-2t1t)(ty02、LTI连续时间系统对复指数信号的响应设LTI系统单位冲激响应为h(t)则根据时域分析可知，系统的零状态响应为：3.3.3周期信号通过LTI连续时间系统的响应p791.将周期为T的周期信号fT(t)展开为：设系统频率响应为H(ω),则输出2.周期信号展开成三角函数形式时求响应

（a）周期方波信号（b）RC电路图3-213.3.4

无失真传输系统p811．无失真传输的数学模型无失真传输是指线性系统输出响应y(t)的波形与输入激励f(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，时间前后有所差异，因此，无失真传输系统的数学模型为:)()(0ttKfty-=LTI系统+-'112'2+-)(tf)()(0ttKfty-=tt0t00)(tf)(ty图3-22LTI系统的无失真传输2、无失真传输系统的频率响应对数学模型取傅里叶变换，可得：所以无失真传输系统的频率响应为：)()(0ttKfty-=由此可得，系统无失真传输的条件为：图3-23无失真传输系统的频谱特性0wK0w0tw-3.3.5调制.解调的概念

3.3.6理想滤波器的概念p82理想低通滤波器p83频率响应因为：所以t)(th00tcwp2t)(td0)1(pwc图3-24理想低通滤波器的冲激响应3.3.7时域取（抽）样p87返回首页连续时间信号f(t)抽样的工作原理如图所示。抽样器相当于一个定时开关，它每隔一个周期T闭合一次，每次闭合时间为τ，从而得到样值信号fs(t)。)(tf0tS)(tf)(tfs抽样器)(tfs0tTT-图3-25信号的抽样

图3-26抽样开关信号

)(ts0tTT-1T2t……

图3-27抽样模型理想时域取样的数学模型为)(tf)(tδT)()(•δT(t)tftfs=1、理想时域取样的数学模型p87fs(t)称为原信号f(t)的时域取样信号，T称为取样周期，称为取样角频率。2、理想时域取样的时域关系p87)(tf0t)(tTd0t)(tfstT-T0T-T)1(=t图3-28时域抽样的时域关系（a）原信号波形图及频谱图3、理想时域取样的频域关系p870)(tftw0)(wFmwmw-1（b）均匀冲激串信号波形图及频谱图)1(0TT-T2T2-LLt)(0ww00w-0w0w20w2-LL（c）抽样信号及其频谱图3-29时域抽样与频谱分析w0)(tfst0T-TT2T2-0w0w-T1LLLLmwmw-4.奈奎斯特间隔p88若信号带限则称为信号f(t)的奈奎斯特间隔；为信号f(t)的奈奎斯特频率；为信号f(t)的奈奎斯特角频率。5.时域取样定理p89时域抽样定理：一个最高频率为fm(或ωm)，频带有限的连续时间信号f(t)可以用均匀等间隔的抽样信号fs(t)值（即抽样值）唯一地来表示。即时域取样定理说明:信号在时域抽样时必须满足两个条件。（