第6章多元函数微积分

第6章多元函数微积分6.1空间解析几何简介.6.2多元函数微分学.6.3多元函数积分学.1主要内容：一.空间直角坐标系.二.向量的基本概念及其运算.三.平面与直线的方程.四.曲面方程的概念和常用曲面的方程.五.空间曲线及其在坐标面上的投影.6.1空间解析几何简介2O过空间一个定点O，

y轴(纵轴)

z轴(竖轴)(坐标)原点

x轴(横轴)

x

1

y

1

z

1拇指方向四指转向右手规则作三条互相垂直的轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右手规则.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．一、空间直角坐标系3三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，坐标面：这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yOz面、zOx面.面面面4O

z

y

x

第一卦限卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限．5O

z

y

x

第二卦限卦限：6第三卦限O

z

y

x

卦限：7O

z

y

x

第四卦限卦限：8O

z

y

x

第五卦限卦限：9O

z

y

x

第六卦限卦限：10O

z

y

x

第七卦限卦限：11O

z

y

x

第八卦限卦限：12二、空间一点的坐标：设M为空间一已知点．O

x

y

zPRx

z

yMQ过点M作三个平面分别垂直于

x轴y

轴和z

轴，三个平面在

x轴、y轴和z

轴的交点依次为P、Q、R，在x

轴、y

轴和

z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、z

的点M

记为M(x，y，z)．13三、空间两点间的距离设为空间两点,在直角及直角中,由勾股定理有:求14特殊地：若两点分别为所以之间的距离为15

解由距离公式，得

例1

求之间的距离16向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．Fvvvvv例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量．三、向量的基本概念及其运算

1.向量的基本概念17以M1为起点、M2为终点的有向线段所表示的向量，记作向量的符号：向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，例如，b，i，j，k，F，

Ox

yzM1M218向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的大小叫做向量的模．19由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．自由向量：如果向量a和b的模相等，又互相平行,且指向相同,则说向量a和b是相等的，记为a

b．相等的向量经过平移后可以完全重合．20向量平行：零向量认为是与任何向量都平行．两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行．向量a与b平行，记作a//b．212．向量的运算

(1).向量的长度的长度为已知,则向量22再以B为的和，记作a

b

，即cab

．设有两个向量a与b，任取一点A，作a

，起点，作=

b，那么向量c

称为向量a

与b连接AC，bacaABbC这种作出两向量之和的方法叫三角形法则．(2).向量的加法,减法和数与向量的乘法23平行四边形法则：AD为边作一平行四边形ABCD，以AB、C

连接对角线AC，当向量a

与b

不平行时，作a

，b，那么向量等于向量a

与b

的和a

b．bacaABbD24向量的加法符合下列运算规律：(2)结合律(a

b)

c

a

(b

c)．(1)交换律a

b

b

a；由向量加法的交换律与结合律，可知任意多个向量加法的法则：以前一向量的终点作为后一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，25负向量：向量的减法：设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的曲面向量，记为

a

．我们规定两个向量b与a的差为b

a

b

(a)．即把向量a加到向量b上，便得b与a的差b

a．a-aa-ab-abbabaa26它的方向当>0时与a相同，当0时，|a|0，即a为零向量，特别地，当1时，有1a

a，(1)a

a．当<0时与a相反．向量a与实数的乘积记作a，向量与数的乘法：规定a是一个向量，它的模|a||||a|，27轴的正方向的单位向量，—称为基本单位向量设向量终点的坐标为

的始点在原点,(如图),利用向量的加法可得,在中，而，又所以得(3)．向量的坐标表示及其加法基本单位向量：以分别表示沿OXZYPQRM(x,y,z)28故上式称为向量的坐标表示式．由数与向量的乘积定义,得29利用向量的坐标进行向量的加减和数乘：则{

a

x

b

x，a

y

b

y，a

z

b

z}．{

a

x

-

b

x，a

y

-b

y，a

z

-b

z}．{

a

x，a

y，a

z}．，30定义1(4)向量的数量积数量积也称为“点积”.31注：证32数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）33定义注://向量积也称为“叉积(5).两向量的向量积

34向量积符合下列运算规律：（1）（2）证:////（3）35设向量积的计算公式36如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有四.平面与直线的方程

1.平面的方程37平面的点法式方程

平面上的点都满足上面的方程，不在平面上的点都不满足上面的方程．其中法向量已知点上面的方程称为平面的方程,平面称为方程的图形．38定义:空间直线可看成两平面的交线．此方程组空间直线的一般方程2.直线的方程（1）空间直线的一般方程39方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量.（2）空间直线的对称式方程与参数方程40直线的对称式方程令直线的参数方程得41解所以交点为取所求直线方程求其方程例142五.曲面方程的概念和常用曲面的方程

1,曲面方程的概念曲面方程的定义：(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；(1)曲面Ｓ上任一点的坐标都满足方程；那么，方程就叫做曲面的方程，Ｓ而曲面Ｓ就叫做方程的图形432，常用的曲面方程1，坐标面的方程坐标面是由坐标轴所确定的平面．以坐标面为例在该平面上任取一点,它的坐标为0,即；反过来,满足方程的任一组解所对应的点在坐标面上，所以坐标面的方程为面的方程为同样可以得到:坐标面的方程为坐标44方程是过点且平行于坐标面的平面方程类似地，２，球心在点、半径为的球面的方程．

45解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为面方程例146定义:平行于定直线并沿定曲线移动的直线L所形成的曲面称为柱面.定曲线Ｃ叫柱面的准线动直线Ｌ叫柱面的母线３，柱面的方程47柱面举例抛物柱面平面48柱面的特征：（其他类推）角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，

其准线为xoy面上的曲线C椭圆柱面双曲柱面抛物柱面49六.空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线C可看作空间两曲面的交线.----空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程1.空间曲线的一般方程50例1方程组表示怎样的曲线?解表示圆柱面，表示平面，表示椭圆.所以51例2

方程组表示怎样的曲线?解表示上半球面,表示圆柱面,它们的交线如图.52-------空间曲线的参数方程2.空间曲线的参数方程53经过t时间，运动到M点

螺旋线的参数方程取时间t为参数，动点从A点出发，解例３54设空间曲线的一般方程：空间曲线在面上的投影曲线3.空间曲线在坐标面上的投影55类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,56截线方程为解的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.