第4章债务偿还01

第4章债务偿还【考试要求】4.1分期偿还计划

贷款余额分期偿还表偿还频率与计息频率不同时的分期偿还表变动偿还系列连续偿还的分期偿还表

4.2偿债基金

偿债基金表偿还频率与计息频率不同时的偿债基金法变动偿还系列

【要点详解】§4.1分期偿还计划

1．贷款余额

（1）债务偿还的方式一般有以下三种：①满期偿还。借款者在贷款期满时一次性偿还贷款的本金和利息；②分期偿还。借款者在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息；③偿债基金。借款者每期向贷款者支付贷款利息，并且按期另存一笔款，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次性偿还给贷款者。（2）贷款余额：是指借款人在该时刻一次性偿还剩余贷款的额度。

（3）贷款余额的计算方法：在分期偿还计划中，设L为贷款额，n为分期还款次数，P为每期还款额，i为贷款利率。①过去法过去法是基于已经历时间的贷款及还款的积累值而计算贷款余额的方法。过去法k时（k为整数）的贷款余额（刚刚偿还P后）为贷款额L按利率i的积累值与每期偿还额为P的每期偿还款按利率i的积累值之差，贷款余额记为，则：②未来法未来法是根据未来要偿还款项的折现值计算贷款余额的方法。未来法k时（k为整数）的贷款余额（刚刚偿还P后）应该是未来n-k次偿还款，按利率i折现到k时的现值。贷款余额记为，则：

显然，两种计算方法的结果是等价的，即：我们通常将k时的贷款余额记为Bk。

另外，在时刻k与k+1之间某一时刻k+t（0＜t＜1）的贷款余额为：

Bk+t=Bk（1+i）t（4.3）

注意：通常情况下，已知每次还款额以及尚未还款次数，则用未来法就较为简便；若不知道所需还款的次数或最后一次可能的不规则还款数，则用过去法较为方便。

【例题4.1】某总额1000元的债务，原定将分10年于每年年末等额偿付，合同年有效利率为5%。当第4次偿付完成时，年利率上调为6%，如果余下6次等额还款，则每次还款额为（）元。[2008年春季考试真题]A．127.86B．129.57C．130.52D．133.67E．138.24

【答案】D

【解析】设原还款额为P，由题意，得：

解得：P=129.50（元）。第4次还款后的余额为：

设余下的6次等额还款，每次还款额为R，则有：

解得：R=133.67（元）。

【例题4.2】一笔20年期的贷款，借款人原计划每年年末偿还1000元，在第5年末借款人实际偿还了3000元，他希望将余额在未来的12年等额还清，假设年利率为9%，则每年的还款额为（）元。[2008年春季考试真题]A．832B．846C．875D．882E．896

【答案】B

【解析】设每年的还款额为R，由题意，得：

解得：R=846.37（元）。

【例题4.3】某人购房时向银行借款3000000元，分30年还清，每月月末还款一次，若每年计息12次的年名义利率为6.6%，则在第240次还款后的贷款余额为（）。[2011年春季考试真题]A．1678936B．1679835C．1680733D．1681639E．1682535

【答案】B

【解析】每月月末还款一次，一共还款n=360次，月实际利率为i=0.066/12=0.0055；每月还款额为X则有：（百万）第240次还款后，还剩120次还款，贷款余额为：

【例题4.4】一笔贷款将在未来n（n＞10）年内等额分期偿还，首次付款在第一年末，如果在第n-10年末追加偿还1000元，这样在该年后各年付款额将比该年前各年度付款额减少一个数额X元。设年复利率为5%。则数额X=（）元。A．106.5B．111.5C．115.5D．120.5E．129.5

【答案】E

【解析】由题意，得：

又

所以解方程，得：X＝129.5（元）。

【例题4.5】某人现贷款2000000元，以后每年年未还款100000元，直至还完，已知贷款年利率为2.5%，该人还款的整数期为n，且出现了还款零头，若零头在n到n+1之间支付，则还款零头为（）。[2011年春季考试真题]A．6837B．6910C．7022D．7098E．7173

【答案】C

【解析】设经过n期还完贷款，则有（十万），求得：故还款的整数次为28次，k=0.07103453，于是还款零头为：

2．分期偿还表

（1）分期偿还表就是包括各期偿还款中的利息和本金的额度以及每期还款后的贷款余额的列表。（2）分期偿还款按标准型年金进行。贷款额为，年利率为i，还款期限为n，每期末还款额为l的分期偿还表4-1如下。

表4-1可见，对于每期末还款额为1，期限为n的标准型年金，有：

Ik=1－vn-k+1（4.4）

Pk=vn-k+1（4.5）若贷款额不是，而是L，则每期偿还款为

（4.6）

【例题4.6】某人以分期偿还法每年等额偿还一笔10年期贷款，第5年度末和第8年度末的分期付款额中偿还的本金之和恰好是年度付款额的1.8倍。则贷款的年复利率为（）。A．2.18%B．2.38%C．2.58%D．2.78%E．2.88%

【答案】B

【解析】设年还款额为P，则：第5年末还款额中的本金部分为：P5=Pv10-5+1=Pv6，第8年末还款额中的本金部分为：P8=Pv10-8+1=Pv3,由题意，得：

Pv6+Pv3=1.8P，即v6+v3=1.8，解得：v=0.976723，故利率i=v-1－1=0.0238。

3．偿还频率与计息频率不同时的分期偿还表

（1）偿还频率小于计息频率若每偿还期计息k次，即偿还频率小于计息频率，计息期为n，则共有n/k次偿还款，n/k为整数。若利率为i，每次偿还款额为1，则贷款额为。贷款偿还只发生在时刻k，2k，…，n。表4-2列出了这种情形下每次偿还款包含的利息部分、本金部分以及刚刚还毕一次款后的贷款余额。

表4-2

（2）偿还频率大于计息频率若每计息期偿还贷款m次，即偿还频率大于计息频率，共n个计息期，每计息期利率为i，则每次还款额为1／m，总共有mn次还款，最初贷款额为，表4-3列出了这种情形下的每次偿还款包含的利息部分、本金部分以及刚刚还毕一次款后的贷款余额。

表4-3

【例题4.7】甲向乙借款10000元，约定在未来的6年内按季度等额还款，利率为季度转换8%。在第2年的年末，乙将未来的收款权转让给了丙，转让价产生季度转换年收益率10%，则丙收到的总利息为（）元。[2008年春季考试真题]A．1512B．1524C．1538D．1557E．1568

【答案】D

【解析】由已知，每季度实际利率为：8%÷4＝0.02。设甲每次的付款额为R，由题意得：

解得：R＝528.71。于是，丙收到的款项为：528.71×16=8459.37（元）又丙的购买价为：

故丙收到的总利息为：8459.37－6902.31=1557.06（元）

【例题4.8】某借款人半年末还贷款一次，每次1000元，共5年，每年计息两次的年名义利率为8%，则第6次还款中的本金部分为（）元。A．754B．822C．895D．913E．984

【答案】B【解析】由已知，每半年的实际利率为：8%÷2＝0.04。第5次还款后的借款余额为：

于是，第6次还款中的利息部分为：I6=0.04×B5=178.07（元）；故第6次还款中的本金部分为：P6=R－I6=821.93（元）。

4．变动偿还系列

分期偿还贷款的每期偿还额可以不同，例如：均衡的分期偿还款后，有一个不规则的还款额的情况；各期偿还款均不相同的情况等。假设计息频率与还款频率是一致的。以Rk表示第k期末的分期还款额，k=1，2，…，n，贷款利率为i，则有：

这是一般情形下的分期偿还现值公式，且Rk>0。

【例题4.9】某人向银行贷了10年的款，年利率为6%，每年末还款一次，首期还款300元，以后每期比前期还款增加10元。计算第6次还款中的利息与本金部分分别为（）元。A．83.2；266.8B．87.2；262.8C．93.2；256.8D．98.2；251.8E．107.2；242.8

【答案】C

【解析】第5次还款后的贷款余额为：

第6次还款中的利息部分为：

I6=B5×i=1553.67×0.06=93.2（元）所以第6次还款中的本金部分为：

P6=350－93.2=256.8（元）

5．连续偿还的分期偿还表

假设每计息期偿还额相等，贷款额为贷款期限为n年，按每计息期偿还额为1的连续偿还形式偿还贷款，则t时的贷款余额为：（4.8）（4.9）设t时偿还的利息的变化率记为本金的变化率记为则有：

【例题4.10】某贷款额为1，期限为8年，采取连续还款方式，每年的还款使得这8年的贷款余额连续地由1线性地减到0，贷款年利率按δ=0.08计，前4年还款中的利息部分为（）。A．0.08B．0.24C．0.32D．0.40E．0.64

【答案】B

【解析】t时的贷款余额为：Bt=1－t/8，所以前4年还款中的利息部分为：

§4.2偿债基金

1．偿债基金表

（1）偿债基金借款人在每还款期将在该期内贷款产生的利息支付给贷款人，同时也在专门建立的一个基金中存入一笔款，使得这些款项建立的基金在贷款期末积累至贷款本金的额度，正好用于偿还贷款本金。这一基金就称为偿债基金，每期支付的利息称为使用费或服务费。（2）①贷款利率与偿债基金存款利率相同的情况若贷款额为1，年利率为i，贷款期限为n，按偿债基金法偿还贷款，则每期支付利息为i，设各期存入偿债基金的款项为D，偿债基金存款利率也为i，则有：借款人每期末需要支付的款项为：

说明：偿债基金法与分期偿还法在贷款利率与偿债基金存款利率相等时是等价的，即：贷款额为，期限为n，贷款利率与偿债基金存款利率都为i的偿债基金表，如表4—4。表4—4②贷款利率与偿债基金存款利率不同的情况为避免引入过多的符号，假定每期存入偿债基金的金额以及每期借款人的支出额都相等。设：L为贷款额；

n为贷款期限；

i为贷款利率；

j为偿债基金存款利率；

D为每期存入偿债基金的金额；

P为每期借款人的总支出额（利息部分+存入基金部分）则有：

☞贷款净余额NBk：即第k次利息支付后同时向基金存款后的贷款净余额。

☞净利息支出NIk：即第k期内支出的贷款利息与偿债基金所得利息之差。

☞净本金支付NPk：即第k期末偿债基金与第k期初偿债基金额之差。

【例题4.11】某借款人分15年偿还数额为X的借款，每年年未还款2000元，贷款年利率为6%。已知贷款的1/3用分期偿还方式偿还，其余2/3用偿债基金方式偿还，若偿债基金存款利率为5%，则贷款金额为（）。[2011年春季考试真题]A．18909B．19009C．19173D．19273E．19357

【答案】B

【解析】设分期偿还中，每年末还款P，则有；偿债基金中，每年末存入基金D，则有；每年年未还款2000元，有；由以上三式可得：

【例题4.12】计算=（）。A．7.1661B．7.4694C．8.5498D．8.9574E．9.1285

【答案】A【解析】由，得：

【例题4.13】王先生借款10万元，为期15年，年利率4%。若采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为3%，计算第3次付款中净利息部分为（）元。A．3000B．3247.82C．3456.72D．3672.56E．4000

【答案】D

【解析】已知i=0.04，j=0.03，按偿债基金还款方式，每年还款额为：故第3次付款中的净利息为：

2．偿还频率与计息频率不同时的偿债基金法

偿还频率与计息频率不同时可能会出现四种频率：（1）贷款利息支付频率；（2）贷款计息频率；（3）偿债基金存款频率；（4）偿债基金计息频率。这四种频率可以部分不同，也可以全部不同，使得相关的计算复杂化，但是可以根据基本的原理，进行分析计算。

【例题4.14】某人以半年度转换利率12%借款10000元，期限为5年，他以偿债基金的方式偿还本金，在未来的5年内每年末向基金等额存款，假设偿债基金的年利率为8%，则他总共支付的金额为（）元。[2008年春季考试真题]A．14166B．14287C．14326D．14467E．14523

【答案】E

【解析】设偿债基金