高中数学苏教版2逆变换与逆矩阵

章末分层突破一、求逆矩阵求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种：法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解；法二：从几何变换的角度求解.已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))，求(AB)－1.【导学号：30650045】【解】法一∵AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）×4＋5×32×4＋5×1,（－1）×（－1）＋3×3（－1）×2＋3×1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1113,101))，∴det(AB)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1113,101))＝11－130＝－119.∴(AB)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,119)\f(13,119),\f(10,119)－\f(11,119))).法二∵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(45,－13))，∴det(A)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(45,－13))＝12＋5＝17，A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,17)－\f(5,17),\f(1,17)\f(4,17)))；又∵B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,31))，∴det(B)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12,31))＝－1－6＝－7.∴B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)\f(2,7),\f(3,7)\f(1,7))).∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)\f(2,7),\f(3,7)\f(1,7)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,17)－\f(5,17),\f(1,17)\f(4,17)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)×\f(3,17)＋\f(2,7)×\f(1,17)－\f(1,7)×（－\f(5,17)）＋\f(2,7)×\f(4,17),\f(3,7)×\f(3,17)＋\f(1,7)×\f(1,17)\f(3,7)×（－\f(5,17)）＋\f(1,7)×\f(4,17)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,119)\f(13,119),\f(10,119)－\f(11,119))).二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法1.二元一次方程组的解的情况的判定.常用两种方法：法一：利用det(A)与0的大小情况判定.法二：从几何变换的角度判定.2.二元一次方程组的求解常用两种方法：(1)用行列式法求解记D＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))，Dx＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(mb,nd))，Dy＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(am,cn))，于是方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(Dx,D)，,y＝\f(Dy,D).))(2)用逆矩阵法求解写出系数矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则det(A)＝ad－bc，若det(A)＝0，判定方程组解的情况；若det(A)≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,det（A）)\f(－b,det（A）),\f(－c,det（A）)\f(a,det（A）)))，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α,β))＝A－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m,n))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝α，,y＝β.))即为方程组的解.解二元一次方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7，,2x＋3y＝6.))【解】法一方程组可写为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7,6)).因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(11,23))＝1×3－1×2＝1≠0，所以方程组有惟一解.利用矩阵求逆公式得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,23))eq\s\up12(－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21)).所以原方程组的解为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,－21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7,6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×7－1×6,－2×7＋1×6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,－8))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝－8.))法二记D＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(11,23))＝1×3－1×2＝1≠0，Dx＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(71,63))＝7×3－6×1＝15，Dy＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(17,26))＝1×6－2×7＝－8.∴方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝－8.))三、函数方程思想本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用.已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,11))，求A－1.【解】法一设A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy,zw))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－zy－w,x＋zy＋w))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－z＝1，,y－w＝0，,x＋z＝0，,y＋w＝1.))解得x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,2)，w＝eq\f(1,2)，故A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2))).法二矩阵A表示的变换为线性变换，且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))满足条件eq\b\lc\{(\a\v