高中数学人教A版3第一章计数原理排列与组合

1．排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有Aeq\o\al(n,n)种排法，m个元素的排列有Aeq\o\al(m,m)种排法，因此Aeq\o\al(n,n)种排法中关于m个元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m)类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))种排法．(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！)．Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30000的五位偶数．解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有Aeq\o\al(3,8)种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共Aeq\o\al(3,8)种取法．所以共有2×7×Aeq\o\al(3,8)种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有Aeq\o\al(3,8)种选法，所以共有3×6×Aeq\o\al(3,8)种不同情况．由分类加法计数原理，比30000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×Aeq\o\al(3,8)＋3×6×Aeq\o\al(3,8)＝10752(个)．要点二排队问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲有Aeq\o\al(1,3)种方案，再考虑其余6人全排Aeq\o\al(6,6)，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)种方案，再安排其余5人全排Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，而乙也有Aeq\o\al(1,5)个位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5).故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有Aeq\o\al(7,7)，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)种排法，余下六个位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但减去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)种，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(种)．(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共Aeq\o\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有Aeq\o\al(3,5)种排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．(8)对比(7)让女生插空：N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(种)．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的eq\f(1,Aeq\o\al(3,3))，∴N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840(种)．(12)直接分步完成共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有Aeq\o\al(1,4)种选法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)种排法，故排法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(种)排法．要点三排列的综合应用例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有Aeq\o\al(1,4)种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有Aeq\o\al(2,4)种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有Aeq\o\al(2,4)种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有Aeq\o\al(2,2)种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2Aeq\o\al(2,2)种．此时共有(Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2))个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(个)．规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有Aeq\o\al(2,10)种；(2)第一、三个数都是奇数，有Aeq\o\al(2,10)种．于是，选出3个数成等差数列的个数为Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(个).1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个答案B解析分2步完成：个位必为奇数，有Aeq\o\al(1,3)种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有Aeq\o\al(2,4)种选法．由分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,4)＝36(个)无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720B．144C．576D．684答案C解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,3)；不考虑任何限制，6人的全排列有Aeq\o\al(6,6).∴符合题意的排法种数为Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝576.3．(2023·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96种．4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．答案96解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有Aeq\o\al(1,4)种放法，其余的四个球在四个位置全排列有Aeq\o\al(4,4)种放法，由分步计数原理得到共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(种)．1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”“插空法”.一、基础达标1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是 ()A．Aeq\o\al(8,8) B．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2) D．以上都不对答案C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为 ()A．Aeq\o\al(3,3) B．Aeq\o\al(3,6) C．Aeq\o\al(4,6) D．Aeq\o\al(4,4)答案D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有 ()A．300种 B．240种 C．144种 D．96种答案B解析A地区有Aeq\o\al(1,4)种方法，其余地区有Aeq\o\al(3,5)种方法，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,10) C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,6)答案A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有Aeq\o\al(2,9)种排法，再把8名学生排列，有Aeq\o\al(8,8)种排法，共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)种排法．5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有Aeq\o\al(1,3)种选择，故二次函数有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有Aeq\o\al(3,4)种，一共有Aeq\o\al(3,7)种选法，则至少有1名女生的选派方案共有Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186(种)．7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有Aeq\o\al(1,3)种；第二类用2面旗表示的信号有Aeq\o\al(2,3)种；第三类用3面旗表示的信号有Aeq\o\al(3,3)种．由分类加法计数原理，所求的信号种数是Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576.即共有576种不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有 ()A．48种 B．192种 C．240种 D．288种答案B解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有Aeq\o\al(5,5)种排法，而女生可互换位置，所以共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4)(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有______种排法(用数字作答)．答案1440解析先让5名大人全排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，两个小孩再依条件插空有Aeq\o\al(2,4)种方法，故共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,4)＝1440(种)排法．10．(2023·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有Aeq\o\al(5,5)，当C在左边第2个位置时Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)，当C在左边第3个位置时，有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3).这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有Aeq\o\al(6,6)种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有Aeq\o\al(5,5)