湖北省宜昌市兴山县古夫中学2022年度高三数学理月考试题含解析

湖北省宜昌市兴山县古夫中学2022年度高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．2.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则该几何体的体积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A由三视图知对应的几何体是底面半径为、高为的圆锥与底面为直角边长为等腰直角三角形，侧棱垂直底面，高为的三棱锥组成的组合体，圆锥的底面半径为，母线长为，其表面积为+++=，解得=2，所以圆锥的底面半径为6，母线长为10，所以该几何体的体积为=，故选A．4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A．

B．C．

D．参考答案：D5.已知下列四个命题：，使得；

，都有；，都有；

，使得；A.,

B.,

C.,

D.,参考答案：A略6.设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是（）A．若m?α，n?α，m∥n，则n∥αB．若α⊥γ，α∥β，则β⊥γC．若m?β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面平行的判定定理得n∥α；在B中，由面面垂直的判定定理得β⊥γ；在C中，由三垂直线定理得m⊥n；在D中，l与β相交、平行或l?β．【解答】解：由l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，知：在A中，若m?α，n?α，m∥n，则由线面平行的判定定理得n∥α，故A正确；在B中，若α⊥γ，α∥β，则由面面垂直的判定定理得β⊥γ，故B正确；在C中，若m?β，n是l在β内的射影，若m⊥l，则由三垂直线定理得m⊥n，故C正确；在D中，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l与β相交、平行或l?β，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．7.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A．B．

C．D．

参考答案：8.直线（）的倾斜角范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C因为所以直线的斜率，所以有．9.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，，（其中是的导函数），若，，则的大小关系是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B10.定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为

(

)

A．

0

B.

6

C.

12

D.

18参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）证明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求证：m2+n2≥5．参考答案：证明：（Ⅰ）因为，则，，所以，当且仅当时，取等号．

…………（Ⅱ）由柯西不等式知：，

即，所以，

当且仅当时取等号.

…………（10分）

略12.若集合，，则

参考答案：13.若复数z=（1+i）?i2（i表示虚数单位），则=

．参考答案：﹣1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）?i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．14.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为

．参考答案：15.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的表面积为

．参考答案：16.已知，且，求的最小值________.参考答案：3【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之．【详解】解：已知，，，则，当且仅当时等号成立；故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式．17.已知一个正六棱锥的高为10cm，底面边长为6cm，则这个正六棱锥的体积为_______

cm3．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）.（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式.（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为.（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算.参考答案：(1)；(2)证明见解析；(3)．试题分析：(1)直接运用题设中的条件解方程求解；(2)借助题设条件运用充分必要条件进行求解；(3)依据题设条件和三角函数的有关知识进行综合求解（3），∴，∴或∵，∴，当时，∴当时，∴∴为有理数列，∵，∴，∴，∵为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴考点：数列与三角变换等知识的综合运用．【易错点晴】数列推证题是上海市高考常考题型之一,也是上海市高考必考的重要考点.解答这类问题的思路依据题设条件,综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题.本题的解答过程中,所有计算与求解都是推理论证能力的体现和数学思想方法的运用.如第一问中的求数列的通项公式,则是运用方程思想建立方程进行求解的;再如第二和第三问中的证明和计算求解的过程也是通过建立方程组来实现的.19.（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．参考答案：【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：应用题；不等式的解法及应用．【分析】：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的关系式；（2）设y﹣1=t（t≥0.5），则原式l=4t++5.5，利用基本不等式求出结果．解：（1）由CD=x，则BD=x﹣0.5，设BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化简得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=

①…（4分）记l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y﹣1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5

…（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．…（16分）【点评】：本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题．20.如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，、分别是、的中点，若二面角P-CD-A为，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的大小；（Ⅲ)求点到平面的距离．参考答案：（I）证明：如图，取的中点，连接．由已知得且，又因为E是的中点，则且，所以四边形FAEO平行四边形，∴又因为平面，平面平面

4分（Ⅱ）因为底面ABCD

又因为底面ABCD为矩形，，又因为AD=2，又因为AB//CD……

…9分（Ⅲ）【法一】：设平面的距离为，因，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，因为，则,则，因所以……13分 【法二】因，所以，，又因，是的中点所以，，．作于，连结，因，则为的中点，故所以平面，所以平面平面，作于，则平面，所以线段的长为平面的距离。又，所以……………13分

略21.如图：已知四棱锥，底面是边长为３的正方形，面，点是的中点，点是的中点，连接、、．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．参考答案：（1）解1：取AB中点T，连接MT、NT，

①

……

2分

②

……

4分由①②得所以

……

6分解2：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设则得,

……

4分

……6分

（2）由（1）得，则

，…

2分解得，即.

……

3分取平面AMB的一个法向量为 ……

4分设平面AMN的法向量，又,由，取平面AMN的一个法向量，………………

5分设二面角为，则………………

7分=

……略22.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可．解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲线C的方程式为x2=4y．（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴，∵点N在以PQ为直径的圆上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x