2021-2022学年内蒙古自治区呼和浩特市盆地青学校高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年内蒙古自治区呼和浩特市盆地青学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（

）参考答案：D2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于A．

B．

C．4

D．参考答案：A略3.已知函数是奇函数，则的值为

（

）（A）

（B） （C） （D）参考答案：C由题意函数为奇函数，则，即，解得，所以函数的解析式为，所以，故选C.

4.双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（）A．B．C．D．参考答案：D略5.已知，则下列关系中正确的是A．a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>a>b参考答案：A6.已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2–x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（

）A．（1，+∞）

B．

C．

D．参考答案：A略7.集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设全集，集合，，则等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}参考答案：B【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.9.设a=log32，b=log23，c=，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞c＞b B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.c＞a＞b参考答案：C【分析】可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，∴c＞b＞a．故选：C．【点睛】考查对数函数、幂函数的单调性的应用，考查了对数的运算，属于基础题．10.定义在R上的可导函数f（x）满足：f′（x）＜f（x）+ex，其f′（x）为f（x）的导函数，e为自然对数的底且f（0）＝2，则关于x的不等式f（lnx）＞xlnx+2x的解集为（

）A.（0，+∞） B.（1，+∞） C.（0，1） D.（0，e）参考答案：C【分析】构造函数g（x）x，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出不等式的解集．【详解】∵f′（x）＜f（x）+ex，∴1＜0，设g（x）x，∴g′（x）1＜0，∴g（x）在R上单调递减，∵f（0）＝2，∴g（0）0＝2，∵f（lnx）＞xlnx+2x，∴lnx+2．即lnx＞2，∴g（lnx）＞2＝g（0），∴lnx＜0，∴0＜x＜1，故选：C．【点睛】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量满足，，，，则的最小值为

.参考答案：

【知识点】平面向量数量积的运算．F3解析：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【思路点拨】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由?=1，?=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．12.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是

．（相交、相离、相切）参考答案：相离13.已知函数，若,则实数的最小值为

．参考答案：314.曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是．参考答案：x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切点的坐标为（1，﹣1）∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=015.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13=．参考答案：50考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案为：50．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题16.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．

参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．点评：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

17.在平行四边形中，，，若，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.（1）求椭圆E的方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）因为，所以，椭圆的方程为，将代入可得，所以椭圆的方程为；（2）若的斜率为零或不存在，易知,存在满足条件的，使成等差数列；若的斜率为，设的方程为，代入方程，化简得，设，则有，于是，同理，由于直线的斜率为，，同理，由于直线的斜率为，，所以，总之，存在满足条件，使得成等差数列.19.问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为

；探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案：（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可.【详解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：连接CE，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及勾股定理的应用.20.如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.

参考答案：21.（本小题满分分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．参考答案：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为．极坐标方程为

………5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为．

………10分22.如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．（Ⅰ）求DE的长；（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；（Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我