高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程 同课异构

函数与方程的综合应用一、学习引领1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数（）的图像与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程的图像与轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数在区间上图像是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c就是函数的零点.对于我们学习的简单函数，可以借助图像判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图像的交点去判断函数的零点情况.4.二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.5.二分法：对于区间上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难解析1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图像的交点的横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.3.二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时应满足：4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是（1）取一个区间（）使（2）取区间的中点，（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、典例导析1、函数方程中参数问题：例1、已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.思路导析：根据方程，可创设函数，利用函数的性质求解。解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内又＝1＞0∴有两种可能情形①得＜－2或者②得不存在，综上所得，＜－2规律总结：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.2、利用二分法解决问题例2、试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.思路导析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令＝∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0＝－16－4＋8＋2＝－10＜0＝－2－1＋4＋2＝3＞0＝0－0－0＋2＝2＞0＝2－1－4＋2＝－1＜0＝16－4－8＋2＝6＞0根据·＜0，·＜0，·＜0可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.规律总结：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.3、有关二次函数的求解问题：例3、已知函数，且方程有实根.(1)求证：-3<c≤-1,b≥0.(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明思路导析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.证明：(1)由，得1+2b+c=0,解得，又，1，解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或∴，由，得≥0.（2）=∵，∴c<m<1（如图）∴c—4<m—4<—3<c.∴的符号为正.规律总结：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.四、随堂练习1．当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（A． B． C．D．2．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则()A．1B．C．D．3．已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是(A．3B．4C．5 D4．已知函数的图象如下，则（）A．B．C．D．5．是方程的解，则这三个数的大小关系是6．关于x的不等式，当时恒成立，则实数的取值范围为7.已知函数若则与的大小关系为8．已知函数的图象与直线只有一个公共点，求这个公共点的坐标．9．已知，t∈[，8]，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，求的取值范围．10．已知函数(（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围函数与方程的综合应用答案解析四、随堂练习1．提示：由题意得，设，则，故选D。2．提示：由题意，等差数列的首项为，四项的和为4，设公差为d，则解得：，故该数列的四项为：．3．提示：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．4．提示：，．当时，，当时，，∴，故，答案为A．5．提示：在同一坐标系中作出函数和的图象，可以看出：，，∴，∴6．提示设，则t∈［1，3］，原不等式可化为：，等价于大于的最大值∵在[1，3]上为减函数，∴∴，解得：．7.提示：其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，∵，与的中点在(－1，)之间，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴，答案为A．8．解：由，得因为两个图象只有一个公共点，所以，解得：当时，，；当时，当时，公共点的坐标是；当时，公共点的坐标是．9．解：∵t∈[，8]，∴∈[，3]，∴∈[，3]．原题转化为：>0恒成立，当时，不等式不成立．∴，令，m∈[，3]，则：，解得：．∴的取值范围为．10．解：（1）证明任取∵，∴，，∴，即，故在(0,+∞)上是增函数（2