高中数学北师大版2第四章定积分第4章3

第四章§3一、选择题1．由直线x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲线y＝eq\f(1,x)以及x轴所围成的图形的面积为()\f(15,4) \f(17,4)\f(1,2)ln2 D．2ln2解析：如图所示，所围图形的面积为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(eq\f(1,2),2,))eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(1,2)))＝ln2－lneq\f(1,2)＝2ln2.答案：D2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是eq\f(2,3)，则c等于()\f(1,3) \f(1,2)C．1 \f(2,3)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝cx3))，得x＝0或x＝eq\f(1,c)(c>0)．则围成图形的面积S＝eq\i\in(0,eq\f(1,c),)(x2－cx3)dx＝eq\f(2,3)，可求得c＝eq\f(1,2).答案：B\a\vs4\al(\i\in(0,1,))eq\r(1－x－12)dx等于()\f(π,4) \f(π,2)C．π D．2π解析：设y＝eq\r(1－x－12)，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))eq\r(1－x－12)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方且x∈[0,1]的面积，即圆面积的eq\f(1,4)，即eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))eq\r(1－x－12)dx＝eq\f(π,4).答案：A4．半椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为()\f(16π,3) \f(17,3)πC．5π D．6π解析：V＝eq\a\vs4\al(\i\in(－2,2,))π·2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))dx＝2π·eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x3,3×4)))))eq\o\al(2,－2)＝eq\f(16,3)π.答案：A二、填空题5．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为____．解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y＝－2x＋6，))得C(2,2)．∴S＝S△ABC－eq\a\vs4\al(\i\in(1,3,))(－x2＋4x－3)dx＝eq\f(1,2)×2×2－eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋2x2－3x))))eq\o\al(3,1)＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．由曲线y＝lnx与直线y＝lnb，y＝lna(b＞a＞0)及y轴所围成的图形的面积为____．解析：由y＝lnx，得x＝ey，故S＝eq\a\vs4\al(\i\in(lna,lnb,))eydy＝eyeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(lnb,lna)))＝elnb－elna＝b－a.答案：b－a三、解答题7．求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形的面积．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,y＝x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(舍)以y为积分变量可得面积为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,y)))dy＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y2－lny))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－ln2.8．给定直角边为2的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．解析：在平面直角坐标系中，直角边为2的等腰直角三角形可以看成是由直线y＝x，x＝2，以及x轴所围成的平面图形．则旋转体的体积V＝πeq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))x2dx＝eq\f(π,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＝eq\f(8π,3).9．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,6).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－x2,y＝kx))，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，eq\f(S,2)＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(1－k,0))(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\