c3.2对称共焦腔内外的光场分布

§3.4稳定球面腔的光束传播特性§3.3高斯光束的传播特性§3.1光学谐振腔的衍射理论1§3.5激光器的输出功率第三章激光的输出特性§3.6激光器的线宽极限§3.2对称共焦腔内外的光场分布§3.7激光光束质量的品质因子M2§3.2对称共焦腔内外的光场分布回顾——讨论自再现模积分方程解的物理意义,建立了激光模式的概念，以及激光器输出频率和频率间隔的计算方法。本节——求解对称开腔中的自再现模积分方程,求出本征值和本征函数，了解输出激光的具体场的分布，从而决定开腔自再现模的全部特征。(3-7)1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心,而以(x，y)来表示镜面上的任意点以方形镜面的对称共焦腔为例，求解(3-7)式自再现模积分方程§3.2.1共焦腔镜面上的场分布1）本征函数的近似解：Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式——高斯型函数——常系数镜面上的场分布是厄密多项式与高斯函数的乘积——厄密多项式的零点决定了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓（3-18）(3-7)§3.2.1共焦腔镜面上的场分布本征函数决定了镜面上的光场分布，其中:本征函数的模——决定振幅分布

本征函数的幅角——决定相位分布本征值与单程衍射损耗和单程相移有关。2）本征值的近似解：（3-19）§3.2.1共焦腔镜面上的场分布1）本征函数的近似解：（3-18）1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解2.

镜面上自再现模场的特征

（3-18）①基模：取式中

m=n=0，得到共焦腔方形镜上基模TEM00场的分布因为所以(1)振幅（强度）分布基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为

处场的振幅降落为中心处的1/e。§3.2.1共焦腔镜面上的场分布②定义基模光斑半径为基模振幅最大值的1/e处基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内。上式表明，共焦腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有关。这是共焦腔的主要特征。§3.2.1共焦腔镜面上的场分布基模：例：L=1m,λ=10.6mm，共焦腔的CO2激光器ωs≈1.84mmL=30cm,λ=0.6328mm，共焦腔的He—Ne激光器ωs≈0.25mm

可见，共焦腔的光斑半径非常小。由

可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑尺寸并无影响.基模光斑半径为§3.2.1共焦腔镜面上的场分布③高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：

当m、n取不同时为零的一系列整数时,由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分布因为故§3.2.1共焦腔镜面上的场分布因为故③高阶横模因为故TEM20因为故高阶横模因为故高阶横模因为故TEM11高阶横模

总结：m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且m、n的数值越大，光场也越向外扩展。

高阶横模(2)

相位分布由于为实函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面①由自在现模umn(x,y)的辐角决定。2.

镜面上自再现模场的特征

§3.2.1共焦腔镜面上的场分布(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗。

2.

镜面上自再现模场的特征

§3.2.1共焦腔镜面上的场分布（4）单程相移与谐振频率而当q一定时，若m、n改变，则横模的频率也将发生变化，相邻横模频率间隔为图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱从上式可以看出，共焦腔在频率上是高度简并的，（2q+m+n）相同的所有模式都具有相同的谐振频率。如：TEMmnq，TEMm-1，n+1，qTEMm，n-2，q+1，TEMm-2，n，q+1，

TEMm+1，n-3，q+1等都有相同的频率。这种现象会对激光器的工作状态产生不良影响。因为所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处，从而彼此间产生强烈的竞争作用，导致多模振荡,使输出激光光束质量变坏。普通激光器的输出都是多模的

§3.2.1共焦腔镜面上的场分布§3.2.1共焦腔镜面上的场分布方形镜面共焦腔谐振频率圆形镜面共焦腔谐振频率§3.2.2共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布1.腔内的场分布通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波,该驻波场的分布即腔内光场分布。定义将镜面场分布[式(3-18)]代入基尔霍夫衍射公式[式(3-1)]可得腔内场分布图3-7计算腔内外光场分布的示意图上式表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的场函数。其中,实部代表振幅,虚部代表相位（1）Hm，Hn——

m阶、n阶厄密多项式，确定了场在x、

y方向的大小及节线数目

(2)