山西省吕梁市名师中学高三数学理测试题含解析

山西省吕梁市名师中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线的离心率为(

) A． B．2 C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2），可得==，利用，可求双曲线的离心率．解答： 解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2），∴==，∴=4，∴e=2．故选：B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2）是关键．2.在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99参考答案：B考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意数列各项以3为周期呈周期变化，所以a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，进而S100=33×（a1+a2+a3）+a1．由此能够求出S100．解答：解：∵在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），∴an+3=an．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选B点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．3.函数有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．

B．

C. D．参考答案：A4.若，，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：D【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．【解答】解：∵∈（0，1），＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：D．5.设S＝,则不大于S的最大整数［S］等于A、2013B、2014C、2015D、2016参考答案：B，所以，故，故选B．6.对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是A.4和6

B.3和1

C.2和4

D.1和2参考答案：D本题主要考查函数奇偶性和综合分析能力，难度适中。

因为

（

）

所以2c是偶数，D选项1+2=3为奇数。7.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.8.已知函数，其中，记函数满足条件为事件A，则P（A）等于

（

） A．

B．

C． D．参考答案：C略9.已知实数a，b满足a2+b2=1，设函数f（x）=x2﹣6x+5，则使f（a）≥f（b）得概率为(

) A．+ B．+ C． D．参考答案：D考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：函数f（x）=x2﹣6x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣6）≥0，作出图象，即可得出结论．解答： 解：函数f（x）=x2﹣6x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣6）≥0，如图所示，使f（a）≥f（b）得概率为，故选：D．点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．10.在右边的程序框图中，当程序结束运行时，的值为A．5

B．7C．9

D．11参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足：，且，则_____________；参考答案：由可得：，结合有：，，，则数列是周期为3的数列，则.

12.若函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，3]．【分析】首先对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；【解答】解：对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；f'（x）为一元二次函数，其对称轴为：x=﹣1，开口朝上，故f'（x）在[1，2]上为单调递增函数；故只需满足：f'（1）≥0解得：a≤3；故答案为：（﹣∞，3]．13.若定义在区间上的函数满足：对，使得恒成立，则称函数在区间上有界，则下列函数中有界的是

.①；②；③；④；⑤，其中.参考答案：①④⑤【解析】本题主要考查函数的性质.对于①,显然存在对,使得恒成立,所以①是有界的;对于②,该函数为奇函数,定义域为,当时,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;对于③,由于其值域为,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;对于④,设,则,故存在对,使得恒成立,所以④是有界的;对于⑤,其中,由于函数是闭区间上的连续函数,故必存在,对,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案为①④⑤.14.命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：

．参考答案：?x＞0，x2+x﹣2＜0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答： 解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：?x＞0，x2+x﹣2＜0．故答案为：?x＞0，x2+x﹣2＜0．点评：本题考查特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．15.函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．参考答案：x=﹣【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z）时，，因此，当k=﹣1时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16.函数f(x)=(kx+4)lnx－x(x＞1)，若f(x)＞0的解集为(s,t)，且(s,t)中只有一个整数，则实数k的取值范围为

.参考答案：17.抛物线的焦点为椭圆

的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

▲

．参考答案：由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.参考答案：解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理得AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=,作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB--C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB--C的大小为arctan.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),

，，由得，即，于是①,所以.（2）设平面BCC1B1的法向量，则,即，因，故y=0，且（a-2）x+cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB--C的大小为arccos19.如图，椭圆E：（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）确定2a=4，2c=2，求出b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，结合|CM|=|DN|，求出m的范围，再求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2，所以a=2，c=，所以b=1，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4=0．设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，又M（﹣，0），N（0，m），由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN，所以﹣=﹣，所以k=（k＞0）．所以x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2．因为直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，所以（）2=[]2====，所以==﹣1﹣∈[﹣2﹣3，2﹣3]．20.（本小题满分12分）在数列（1）求数列的前n项和；（2）若存在成立，求实数的最小值.参考答案：21.设函数．⑴若，求的单调区间；⑵若当时，，求的取值范围．参考答案：解：⑴时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增.⑵由⑴知：，当且仅当x=0时等号成立.故，从而当即时，，而，于是当时，.由可得：，从而当时，，故当时，，而，于是当时，，综合以上得：a的取值范围是（其它方法酌情给分）

略22.某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y（单元：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x258911y1210887（1）求y关于x的回归直线方程=x+；（2）若天气预报明天的最低气温为10℃，用所求回归方程预测该店明天的营业额；（3）设该地3月份的日最低气温X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，求P（0.6＜X＜3.8）．附：（1）回归方程=x+中，=，=﹣，22+52+82+92+112=295，2×12+5×10+8×8+9×8+11×7=287，（2）；若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据题意，计算平均数、和回归系数、，写出回归直线方程；（2）计算x=10时的值即可预测结果；（3）由X～N（7，10），计算P（3.8＜x＜7）值，得出P（0.6＜x＜3.8）的值．【