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第一节大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结第五章大数定律及中心极限定理

大量随机试验中大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现的频率字母使用频率生产过程中的废品率一、大数定律定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫则对任意的ε>0，有做前n个随机变量的算术平均证由切比雪夫不等式上式中令得说明3、这种稳定性的含义说明算术平均值是从概率意义上逼近某一常数。二、依概率收敛定义及性质

定义性质请注意:问题:伯努利

设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，是事件A发生的频率.

设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有定理2（伯努利大数定律）或

伯努利证明

证毕注

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.或下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.

设随机变量序列X1,X2,…相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对于任意正数ε

，有定理3（辛钦大数定律）辛钦1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.

要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量，则当n

较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.例1

在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.

设，k=1,2,…问对序列{Xk}能否应用大数定律？即对任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

诸Xk

独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.三、小结

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