分离变量法-有限长杆上的热传导

第二章：分离变量法§2.1

有限长杆上的热传导有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论分离变量法提要:定解问题为,0,0,222><<¶¶=¶¶tLxxuatu一、对此，试探性提出方程组中第一个方程的分离变量形式的非零解。上式分别对x

、t

求偏导上面的结果，反回去代入原方程，得或

这样，变量被分离了，同时得到两个常微分方程！二、捆绑边界条件,解出依据边界条件,由得到：代入：

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)由(10)的前式，得出A=0，后式得出：BL+hB=0

为了满足边界条件(10),必须有(平庸解)下面求解边值问题:(平庸解)二、捆绑边界条件，解出

方程的非零解为在=0和<0情况下，得出平庸解3.>0：上面方程(超越方程的)的根，可视为曲线交点的横坐标.●取正根（负根仅差一符号）无穷多．因此，求得了关于方程的本征值：本征函数：●三、在右列方程组中，解出非零的四、写出叠加形式的解，并捆绑初始条件，确定任意常数。,0,0,222><<¶¶=¶¶tLxxuatu

由于泛定方程和边界条件都是齐次的,所以叠加之后仍是原方程的解它满足泛定方程和边界条件，但不能表征任意初始条件。为了表征任意初始条件，由叠加原理得到一般解：本征解（注：不是通常的傅里叶级数）

非常接近傅立叶级数，称为广义傅立叶级数。于是，在的两端，乘以sinkx，然后在x的变化区间0,L上积分。这里，令：于是有即为最终结果。带入原解式有界杆的长度为L，其两端保持绝热，已知杆内初始温度分布为(x)，求解杆内任意时刻的温度分布的定解问题：(1)(2)(3)例1：热传导(第二类边界条件)§2.2

有限长杆上的热传导设方程（1）有形式解：代入方程（1）分离变量：（4）（5）（6）分离变量：将边界条件（3）代入形式解（4）：这样空间函数

X(x)

构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常数)由(10)得

,

为了满足边界条件(10),必须有(平庸解)但下面求解边值问题：为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为(9)(10)求解边值问题：将代入关于

T的方程:这个解是定解问题的本征解，它满足泛定方程和齐次边界条件，但是不能表征任意初始条件其通解为这样

解方程:利用傅里叶系数公式,得到C0是本征值=0相应的特解X0(x)=A

初始条件：一般解与初始条件：如果：(n=1,2,3,……)(n=0,1,2,3,……)问题：系统的稳态温度概念：系统在任意时刻的平均温度定义为u(x,t)对空间的积分除以系统的长度LLLxx绝热曲线下面积相等(总热量保持恒定)系统的稳态温度：1.直观分析系统最终趋于热平衡温度:

这一过程是绝热的(总热量保持恒定)：初始温度的平均值系统的稳态温度：2.动力学分析热传导的动力学行为:热传导的稳态行为:系统在条件下的稳态温度:系统是绝热的(总热量保持恒定):()热传导方程的稳态解（适用于任何情况）初始温度的平均值系统的稳态温度：3.稳态分析将u(x,t)代入，可求出平均温度U(t)=C0有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零度)，右端绝热。已知杆内初始温度分布为(x),求解关于杆内任意时刻温度分布的定解问题：(1)(2)(3)例２：热传导(混合边界条件)设方程（1）有形式解：代入方程（1）分离变量：（4）（5）（6）分离变量：将边界条件（3）代入形式解（4）：这样空间函数X(x)构成下列常微分方程的边值问题:（8）（7）为了满足边界条件(10),必须有3.>0,方程(9)的通解为(9)(10)

求解边值问题：：在＝0和<0时，得到平庸解这个解是定解问题的本征解,它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为这样解方程:

利用傅里叶系数公式,得到一般解与初始条件：系统从左端逸出(或吸收热量)，最终趋于热平衡温度:系统的稳态温度：左端点处温度为零热量流动的方向(高温→低温)周围温度为零已知:初始温度分布为求:杆上的温度变化规律?L例３：热传导(第三类边界条件)有界杆的长度为L，侧面绝热，其左端保持恒定温度（摄氏零度），右端处杆的热量自由发散到周围温度为零的介质中去（参考第一章的第三类边界条件）左端点处温度为零热量流动的方向(高温→低温)周围温度为零解:这是一个定解问题,其一维热传导方程为其中边界条件为其中杆内的热传导系数左端温度为零杆与周围介质的热交换系数周围介质内的热传导系数L当杆与外界有热交换时，热量由杆内(高温)向杆外(