高中数学人教B版第一章立体几何初步 12

第6课时1.1.4课时目标1.了解投影、中心投影和平行投影的相关概念．2．会用斜二测画法作多面体(棱柱、棱锥、棱台)的直观图，掌握作图规则．识记强化斜二测画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法正确的是()A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心答案：B解析：三角形各边中点的平行投影仍是投影后三角形各边的中点，故三中线的交点的平行投影不变，还是重心．2．关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的eq\f(1,2)C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C解析：由直观图的画法规则可知选项C中∠x′O′y′可以是45°或135°.3．关于利用斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形答案：D解析：由斜二测画法的规则，可知平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．4．已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()\f(\r(3),4)a2\f(\r(3),8)a2\f(\r(6),8)a2\f(\r(6),16)a2答案：D解析：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A′B′C′所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.过点C′作C′D′垂直A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.5．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()答案：C解析：在A、B、D中，三角形ABC的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C不全等．6．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，A．6cmBC．(2＋3eq\r(2))cmD．(2＋2eq\r(3))cm答案：B解析：直观图中，O′B′＝eq\r(2)，原图形中OC＝AB＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，OA＝BC＝1.∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.二、填空题(每个5分，共15分)7.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是________(填序号)．①等腰三角形；②直角三角形；③等腰直角三角形；④钝角三角形答案：②解析：A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，可知∠BAC＝90°，又A′B′＝A′C′，故AC＝2AB，所以仅为直角三角形而非等腰直角三角形．8．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是________．答案：AC画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．9．在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案：eq\f(\r(2),2)解析：以等腰梯形的下底AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在等腰梯形ABCD中，可得其高为eq\r(\r(2)2－1)＝1，∴用斜二测画法画出的直观图中，梯形A′B′C′D′的高为eq\f(\r(2),4).∴直观图A′B′C′D′的面积S＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).三、解答题10．(12分)一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．解：过点A作AE⊥BC，垂足为E.∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面图形是梯形且上、下两底边的长度分别为1和1＋eq\f(\r(2),2)，高为2.∴原平面图形的面积S＝eq\f(1,2)×(1＋1＋eq\f(\r(2),2))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).11．(13分)试判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形；(3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形；(4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；(6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形．解：由斜二测画法过程可以看出这种画法并不会改变直线和直线间相交及平行的关系，也不会改变三点是否共线的关系，但它能改变角度及各边长度的大小，并且选轴不同则所画的直观图可能会不同．所以(1)(2)(5)正确，(3)(4)(6)错误．能力提升12．(5分)如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝eq\r(2)，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，四边形ABCD即正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC即可)，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝eq\r(2)，∴S平行四边形ABCD＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2).13．(15分)用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解：(1)在正六边形ABCDEF中，以AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O，y轴与EF，BC分别交于M，N两点，如图①所示．(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，且B′C′＝BC；以M′为中点，画E′F′平行于x′轴