高中数学北师大版本册总复习总复习 2023版第3章4换底公式

4．2换底公式1.能推导出对数的换底公式．(重点)2.会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理换底公式阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，logab·logba＝1，logba＝．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logab＝eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lnb,lna).()(2)log52＝eq\f(log－32,log－35).()(3)logab·logbc＝logac．()【答案】(1)√(2)×(3)√2.(log29)·(log34)＝()\f(1,4)\f(1,2)C．2D．4【解析】法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.【答案】D[小组合作型]利用换底公式化简求值计算：(1)log1627log8132；(2)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.【精彩点拨】在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】(1)log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)×eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)×eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)×eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16).(2)∵log23＝a，则eq\f(1,a)＝log32，又∵log37＝b，∴log4256＝eq\f(log356,log342)＝eq\f(log37＋3·log32,log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3,ab＋a＋1).1.换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．2.换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝eq\f(m,n)logab.[再练一题]1.化简：(log43＋log83)(log32＋log92)【解】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))＝eq\f(5,6)log23·eq\f(3,2)log32＝eq\f(5,4).用已知对数表示其他对数已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.【导学号：04100057】【精彩点拨】运用换底公式，统一化为以18为底的对数．【尝试解答】法一：因为log189＝a，所以9＝18a又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝eq\f(1,log1818×2)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).法二：∵18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log184×9)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：1增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；2巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；3注意一些派生公式的使用.[再练一题]2.若本例条件不变，求logeq\f(9,25)45(用a，b表示)．【解】由18b＝5，得log185＝b，∴logeq\f(9,25)45＝eq\f(log1845,log18\f(9,25))＝eq\f(log185＋log189,log189－log1825)＝eq\f(b＋a,a－2b).[探究共研型]对数的实际应用探究1光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式．【提示】依题意得y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))x＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x，其中x≥1，x∈N.探究2探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的eq\f(1,2)以下？(根据需要取用数据lg3＝1，lg2＝0)【提示】依题意得aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x≤a×eq\f(1,2)⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x≤eq\f(1,2)⇒x(2lg3－1)≤－lg2⇒x≥eq\f0,1－2×1)≈，∴xmin＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的eq\f(1,2)以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为%，试解答下面的问题．(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg≈2，lg≈2)【精彩点拨】先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值．【尝试解答】(1)由题意y＝100(1＋%)x＝100·(x∈N＋)．(2)由100·＝120，得＝，∴x＝\f(lg,lg≈eq\f2,2)≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝μ0，则当稳定性系数降为μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg2＝0，lg3＝1)【解析】由μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝eq\r，又μ0＝μ0(e－λ)t，则eq\f(1,2)＝(eq\r)t，两边取常用对数，得lgeq\f(1,2)＝eq\f(t,2)lg，故t＝eq\f(2lg2,1－2lg3)＝eq\f(2×0,1－2×1)≈13.【答案】131.若lg3＝a，lg5＝b，则log53等于()\f(b,a) \f(a,b)C．ab D．ba【解析】log53＝eq\f(lg3,lg5)＝eq\f(a,b).【答案】B2.log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.【答案】－123.log332·log227＝________.【导学号：04100058】【解析】log332·log227＝log325·log233＝5log32·3log23＝15·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg